作业帮求下列反常积分的值.需要详细过程!跪求数学大神帮忙啊!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 10:50:10
求下列反常积分的值.需要详细过程!跪求数学大神帮忙啊!
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求下列反常积分的值.需要详细过程!跪求数学大神帮忙啊!
设 x = tanα。则 dx = (secα)^2 *dα。当 x = 1 时，α = π/4。当 x →∞ 时，α = π/2
∫dx/[x*(1 + x^2)]
=∫(secα)^2 *dα/{tanα * [1+(tanα)^2]}
=∫(secα)^2 *dα/[tanα * (secα)^2]
=∫dα/tanα
=∫cosα*dα/sinα
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设 x = tanα。则 dx = (secα)^2 *dα。当 x = 1 时，α = π/4。当 x →∞ 时，α = π/2
∫dx/[x*(1 + x^2)]
=∫(secα)^2 *dα/{tanα * [1+(tanα)^2]}
=∫(secα)^2 *dα/[tanα * (secα)^2]
=∫dα/tanα
=∫cosα*dα/sinα
=∫d(sinα)/sinα
=ln(sinα)|{π/4, π/2}
=lnsin(π/2) - lnsin(π/4)
=ln1 - ln(1/√2)
=ln√2
=1/2*ln2
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求广义积分：【1，+∞】∫dx/[x(1+x²)]
原式=【1，+∞】∫[(1/x)-x/(1+x²)]dx=【1，+∞】∫(1/x)dx-【1，+∞】∫xdx/(1+x²)
=【1，+∞】∫(1/x)dx-【1，+∞】(1/2)∫d(1+x²)/(1+x²)=[lnx-(1/2)ln(1+x²)]【1，+∞】
=...
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求广义积分：【1，+∞】∫dx/[x(1+x²)]
原式=【1，+∞】∫[(1/x)-x/(1+x²)]dx=【1，+∞】∫(1/x)dx-【1，+∞】∫xdx/(1+x²)
=【1，+∞】∫(1/x)dx-【1，+∞】(1/2)∫d(1+x²)/(1+x²)=[lnx-(1/2)ln(1+x²)]【1，+∞】
=ln[x/√(1+x²)]【1，+∞】=ln[1/√(1/x²+1)]【1，+∞】=ln1-ln(1/√2)=(1/2)ln2.
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