作业帮设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0（1）求f(1/2)、f(1/4)(2)证明f(x)是周期函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 23:35:38
![设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0（1）求f(1/2)、f(1/4)(2)证明f(x)是周期函数](/uploads/image/z/5444727-15-7.jpg?t=%E8%AE%BEf%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%85%B6%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E5%85%B3%E4%BA%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx%3D1%E5%AF%B9%E7%A7%B0%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fx1%E3%80%81x2%E2%88%88%5B0%2C1%2F2%5D%E9%83%BD%E6%9C%89f%28x1%2Bx2%29%3Df%28x1%29%C2%B7f%28x2%29%E4%B8%94f%281%29%3Da%EF%BC%9E0%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82f%281%2F2%29%E3%80%81f%281%2F4%29%282%29%E8%AF%81%E6%98%8Ef%28x%29%E6%98%AF%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0)
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0（1）求f(1/2)、f(1/4)(2)证明f(x)是周期函数
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0
（1）求f(1/2)、f(1/4)
(2)证明f(x)是周期函数
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0（1）求f(1/2)、f(1/4)(2)证明f(x)是周期函数
(1)f(1)=f(1/2)+f(1/2)=a
可知f(1/2)=a/2
同理f(1/4)=f(1/2)/2=a/4.
(2)由x=1是对称轴知,
f(x)=f(2-x)
又f(x)是偶函数,
f(2-x)=f(x-2)
所以f(x)=f(x-2)
等价于f(x)=f(x+2)
又定义域为R,
所以f(x)为周期函数.
a
a
由于知道f(1)=a
令x1=1/2 x2=1/2
则f(x1+x2)=f(1/2+1/2)=f(1/2)·f(1/2)
a =f(1)= f(1/2+1/2)= f(1/2)·f(1/2)= f(1/2)的平方
所以f(1/2)=根号a
再令x1=1/4 x2=1/4
同理，可求出f(1/4)...
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由于知道f(1)=a
令x1=1/2 x2=1/2
则f(x1+x2)=f(1/2+1/2)=f(1/2)·f(1/2)
a =f(1)= f(1/2+1/2)= f(1/2)·f(1/2)= f(1/2)的平方
所以f(1/2)=根号a
再令x1=1/4 x2=1/4
同理，可求出f(1/4)
第二问，由于其图象关于直线x=1对称
所以可得出f(x)=f([-x+2])…………（根据对称性[x-x+2]/2=1)
又因为其是定义在R上的偶函数，f(x)=f([-x+2])=f([x+2])
所以周期是2
就是这样子。
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