当x2+xy+y2=1时,求x2+y2的最大值与最小值

当x2+xy+y2=1时,求x2+y2的最大值与最小值
当x2+xy+y2=1时,求x2+y2的最大值与最小值

当x2+xy+y2=1时,求x2+y2的最大值与最小值
由x2+xy+y2=1知,-xy=-1+（x2+y2）……（1）,
又由（x+y）2≥0知,x2+y2≥-2xy=-2+2（x2+y2),即x2+y2≥-2+2（x2+y2）,
所以-(x2+y2)≥-2,所以x2+y2≤2,即x2+y2的最大值为2.
同样1=x2+xy+y2=x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2）/2=3（x2+y2）/2,
即3（x2+y2）/2≥1,
即x2+y2≥2/3,
即x2+y2的最小值为2/3.

解1=x2+xy+y2=x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2）/2=3（x2+y2）/2
即3（x2+y2）/2≥1
即x2+y2≥2/3
即x2+y2的最小值为2/3
最大值看不出来

(1)x²+y²≥2xy(这是因为(x-y)²≥0，展开即得)
因为x²+xy+y²=1，所以xy=1-(x²+y²)
故x²+y²≥2[1-(x²+y²)]=2-2(x²+y²)
所以3(x²+y²)≥2即x²+y...

全部展开

(1)x²+y²≥2xy(这是因为(x-y)²≥0，展开即得)
因为x²+xy+y²=1，所以xy=1-(x²+y²)
故x²+y²≥2[1-(x²+y²)]=2-2(x²+y²)
所以3(x²+y²)≥2即x²+y²≥2/3.
当且仅当x=y=√3/3时取到。
(2)将x²+xy+y²-1=0看成是关于x的一元二次方程，
则Δ=y²-4*1*(y²-1)=4-3y²≥0，即y²≤4/3
同理将x²+xy+y²-1=0看成是关于y的一元二次方程，
则Δ=x²-4*1*(x²-1)=4-3x²≥0，即x²≤4/3
所以x²+y²≤8/3.
虽然这个8/3不是最大值，取不到，但是我们知道了x²+y²是有上限的。

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