如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AE⊥BM于E并延长交BC于D,求证∠AMB=∠CMD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/20 07:25:09
如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AE⊥BM于E并延长交BC于D,求证∠AMB=∠CMD
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如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AE⊥BM于E并延长交BC于D,求证∠AMB=∠CMD
如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AE⊥BM于E并延长交BC于D,求证∠AMB=∠CMD

如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AE⊥BM于E并延长交BC于D,求证∠AMB=∠CMD
证明:过点C作CF平行AB与AD的延长线相交于点F
所以角BAC+角ACF=180度
因为角BAC=90度
所以角ACF=90度
因为AB=AC
所以三角形BAC是等腰直角三角形
所以角ACB=45度
AB=AC
所以角FCD=角ACF-角ACB=45度
所以角MCD=角FCD=45度
因为角BAC=角BAE+角FAC=90度
因为AE垂直BM
所以角AEB=90度
因为角AEB+角ABM+角MBA=180度
所以角MBA+角BAE=角BAE+角FAC=90度
所以角MBA=角FAC
因为角BAC=角ACF=90度(已证)
AB=AC
所以三角形MBA和三角形FAC全等(ASA)
所以角AMB=角F
AM=CF
因为M是AC的中点
所以AM=MC
所以MC=CF
因为角MCD=角FCD=45度
CD=CD
所以三角形MCD和三角形FCD全等(SAS)
所以角F=角CMD
所以角AMB=角CMD

证明:法(1)如图,延长AD至F,使得CF⊥AC,

 

 


∵AB⊥AC,AD⊥BM,
∴∠ABM=∠DAC,
又∵AB=AC,CF⊥AC,
∴△ABM≌△CAF,
∴∠BMA=∠F,AM=CF,
∵∠BCA=∠BCF=45°,AM=CM=CF,DC=DC,
∴△FCD≌△MCD,
∴∠AMB=∠F=∠CMD;

法(2)AD交BM于E,作∠BAC的平分线交BM于N,
∵AE⊥BM,BA⊥AC,
∴∠ABN=∠CAE,
∵∠BAN=∠C=45°,AB=AC,
∴△BAN≌△ACD.
∴AN=CD,
∵∠NAM=∠C=45°,AM=MC 
∴△NAM≌△DCM,
∴∠AMB=∠CMD.

因为点M为AC的中点,所以AM=AC/2=AB/2,所以角ABM=30'.AMB=60',同里就行了