作业帮已知数列{An}的前N项和Sn,求Sn^(1/2)是等差数列的充要条件
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 17:07:16
已知数列{An}的前N项和Sn,求Sn^(1/2)是等差数列的充要条件
已知数列{An}的前N项和Sn,求Sn^(1/2)是等差数列的充要条件
已知数列{An}的前N项和Sn,求Sn^(1/2)是等差数列的充要条件
{Sn^(1/2)} 是等差数列的充要条件是：原数列{An} 也是一个等差数列,并且其公差d=2A1≥0.
证明：
可设An=A1+（n-1）(2A1),(A1≥0）
所以Sn=nA1+n(n-1)d / 2 = A1 * n²
所以
Sn^(1/2) = A1^(1/2) * n
所以,{Sn^(1/2)} 是公差为根号下A1的等差数列.
必要性 ∵√ Sn次为等差数列 所以可是设Sn=(b1+(n-1)d')^2 a1=b1^2 当n>1时 an=Sn-Sn-1=
(b1+(n-1)d'-b1-(n-2)d')(2b1+(2n-3)d')=d'(2b1+(2n-3)d') 当n>2时 an-an-1=d'(2b1+(2n-3)d')-d'(2b1+(2(n-1)-3)d')=2d'^2为常数 对n>2 ...
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必要性 ∵√ Sn次为等差数列 所以可是设Sn=(b1+(n-1)d')^2 a1=b1^2 当n>1时 an=Sn-Sn-1=
(b1+(n-1)d'-b1-(n-2)d')(2b1+(2n-3)d')=d'(2b1+(2n-3)d') 当n>2时 an-an-1=d'(2b1+(2n-3)d')-d'(2b1+(2(n-1)-3)d')=2d'^2为常数 对n>2 {an}为首项为2b1d' 公差为2d'^2的等差数列a1=b1^2
充分性 假设{an} a1=b1^2 b1为常数 {a(n+1)} n>0为等差数列 首项为2b1d' 公差为2d'^2
Sn=b1^2+(2b1d'+2b1d'+(n-1)2d‘^2)*(n-1)/2 =b1^2+(2b1d'+(n-1)d'^2)(n-1)=b1^2+2b1d'(n-1)+(n-1)^2d'^2=(b1+(n-1)d')^2 √ Sn-√ Sn-1=d' 所以√ Sn是等差数列的充要条件是 存在常数b1 与 d' 使得a1=b1^2 {a(n+1)},n>0 是以首相为2b1d' 公差为2d'^2的等差数列~~~~~
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