作业帮三角函数与性质已知函数f(x)=x²+a/x(x≠0,a∈R)（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若f(x)在区间[2,+∞）是增函数,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 02:31:33
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三角函数与性质
已知函数f(x)=x²+a/x(x≠0,a∈R)
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）若f(x)在区间[2,+∞）是增函数,求实数a的取值范围.
（1）当a=0 时,f(x) = x^2,由于 f( -x)= (-x)^2= x^2= f(x),所以f(x)是偶函数.
当a0(是不等于）时,非奇非偶函数.因为f(x)f(-x) 且 f(-x)f( x).
(2) f ' (x) = 2x - a/x^2 = ( 2x^3 -a)/ x^2
由于 f(x) 在[ 2.+∞）上增函数,所以在[ 2,+∞）上 f '（x）>=0 恒成立.
即：2x^3 -a >=0 恒成立.（ 因为x^2 >0）
即 a= < 2x^3,(y= 2x^3 在[ 2,+ ∞）上增函数）
a
如果一个函数是偶函数,则f(-x)-f(x)=0
如果一个函数是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
∵f(-x)-f(x)=(x²-a/x)-(x²+a/x)=-2a/x,
f(-x)+f(x)=(x²-a/x)+(x²+a/x)=2x²<...
如果一个函数是偶函数,则f(-x)-f(x)=0
如果一个函数是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
∵f(-x)-f(x)=(x²-a/x)-(x²+a/x)=-2a/x,
f(-x)+f(x)=(x²-a/x)+(x²+a/x)=2x²
∴当a=0时,f(-x)-f(x)=0,即f(x)是偶函数.
当a=任何值时,f(-x)+f(x)都≠0,所以f(x)不是奇函数.
∴当a=0时,f(x)是偶函数,当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数.
2）对f(x)求导，f′(x)=2x-a/x², f′(x)≥0等价于x³≥a/2
①a＜0时，∵x≧2,x递增，x²递增，a/x递增，∴f(x)递增恒成立
②a=o时，易得f(x)在x≥2上递增
③a＞0时，由x³≥a/2易得，左min=2³=8,∴a/2≤8,∴a≤16
综上所述，a∈﹙﹣∞，16]
①当a=0时，f(x)=x²，f(-x)=x²，所以f(x)=f(-x)，f(x)为偶函数
②当a≠0时，f(x)=x²+a/x，f(-x)=x²-a/x，f(x)≠f(-x)，f(x)既不是奇函数又不是偶函数
（2）对f(x)求导，f′(x)...
①当a=0时，f(x)=x²，f(-x)=x²，所以f(x)=f(-x)，f(x)为偶函数
②当a≠0时，f(x)=x²+a/x，f(-x)=x²-a/x，f(x)≠f(-x)，f(x)既不是奇函数又不是偶函数
（2）对f(x)求导，f′(x)=2x-a/x², f′(x)≥0等价于x³≥a/2
①a＜0时，∵x≧2,x递增，x²递增，a/x递增，∴f(x)递增恒成立
②a=o时，易得f(x)在x≥2上递增
③a＞0时，由x³≥a/2易得，左min=2³=8,∴a/2≤8,∴a≤16
综上所述，a∈﹙﹣∞，16]
f(x)^>=0,求得X<=16