已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/16 22:20:01
![已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=最后是k1+2k2+3k3+……nkn=](/uploads/image/z/5461655-23-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%5Ban%7D%E6%98%AF%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%85%AC%E5%B7%AEd%E2%89%A00%2C%7Ban%7D%E7%9A%84%E9%83%A8%E5%88%86%E9%80%9A%E9%A1%B9ak1%2Cak2%2C%E2%80%A6%E2%80%A6akn%E6%81%B0%E4%B8%BA%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E8%8B%A5k1%3D1%2Ck2%3D5%2Ck3%3D17%2C%E5%88%99k2%2B2k2%2B3k3%2B%E2%80%A6%E2%80%A6nkn%3D%E6%9C%80%E5%90%8E%E6%98%AFk1%2B2k2%2B3k3%2B%E2%80%A6%E2%80%A6nkn%3D)
已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=
最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
由题意得:a1、a5、a17成等比数列
∴a5² = a1·a17
a5 = a1+4d
a17=a1+16d
∴(a1+4d)² = a1·(a1+16d)
展开得:a1² + 8d·a1 + 16d² = a1² + 16d·a1
∴16d² = 8d·a1
∴a1=2d
∴a5=a1+4d=2d+4d=6d,a17=a1+16d=2d+16d=18d
∴等比数列的公比 q = 3
∴在等比数列{a(kn)}中
a(kn)=ak1·3^(n-1) = a1 ·3^(n-1) = 2d·3^(n-1) …… ①
又∵在等差数列{an}中
a(kn)=a1 + (kn - 1)d = 2d + (kn - 1)d = (kn + 1)d …… ②
∴由①②,得:
2d·3^(n-1) = (kn + 1)d
∴kn = 2·3^(n-1) - 1
∴ nkn = 2n·3^(n-1) - n
分成两部分求和:
第一部分2n·3^(n-1) :
Rn = 2×3^0 + 4×3^1 + 6×3^2 + …… + 2n×3^(n-1)
3Rn = 2×3^1 + 4×3^2 + …… + 2(n-1)×3^(n-1) + 2n×3^n
两式相减,得:
2Rn = 2n×3^n - [2×3^0 + 2×3^1+2×3^2 + …… + 2×3^(n-1)]
= 2n×3^n - 2(1 - 3^n)/(1-3)
=(2n-1)3^n + 1
∴Rn = [(2n-1)3^n + 1] /2
第二部分 - n :
Tn = -1 - 2 - 3 - 4 - …… - n = - (n+1)n/2
∴Sn = Rn + Tn= [(2n-1)3^n + 1] /2 - (n+1)n/2
= [(2n-1)3^n - n² - n + 1] /2