证明:当x>0,0<α<1时,不等式x∧α-αx≤1-α成立急求

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 02:12:21
证明:当x>0,0<α<1时,不等式x∧α-αx≤1-α成立急求
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证明:当x>0,0<α<1时,不等式x∧α-αx≤1-α成立急求
证明:当x>0,0<α<1时,不等式x∧α-αx≤1-α成立
急求

证明:当x>0,0<α<1时,不等式x∧α-αx≤1-α成立急求
【 当x>0,0<α<1时,不等式x^α - αx ≤ 1 - α成立 】
令f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) = x^α - αx + (α-1)
f'(x) = αx(α-1)-α = α[x^(α-1)-1]
∵0<α<1
∴-1<α-1<0
0<x<1时,x^(α-1)>1,f'(x)=x^(α-1)-1>0,f(x)单调增
x>1时,x^(α-1)<1,f'(x)=x^(α-1)-1<0,f(x)单调减
当x=1时有极大值f(1) = x^1 - α*1 + α-1 = 0
即f(x) = (x^α - αx) - (1 - α) ≤ 0
∴(x^α - αx) ≤ (1 - α)