作业帮已知三次函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=0,f'(2)=3,f'(3)=12.(1)求f(x)-f(0)的表达式(2)若对任意x∈[-1,4]都有f(x)＞f'(x)成立,求f(0)的取值范围重要的是第二题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 13:59:57
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已知三次函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=0,f'(2)=3,f'(3)=12.(1)求f(x)-f(0)的表达式(2)若对任意x∈[-1,4]都有f(x)＞f'(x)成立,求f(0)的取值范围重要的是第二题
已知三次函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=0,f'(2)=3,f'(3)=12.
(1)求f(x)-f(0)的表达式
(2)若对任意x∈[-1,4]都有f(x)＞f'(x)成立,求f(0)的取值范围
重要的是第二题
已知三次函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=0,f'(2)=3,f'(3)=12.(1)求f(x)-f(0)的表达式(2)若对任意x∈[-1,4]都有f(x)＞f'(x)成立,求f(0)的取值范围重要的是第二题
(1).设f(x) = ax³ + bx² + cx + d,则根据条件有
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f'(1) = 3a + 2b + c = 0
f'(2) = 12a + 4b + c = 3
f'(3) = 27a + 6b + c = 12
解之得 a = 1 ,b = -3 ,c = 3,
从而 f(x) = x³ -3x² +3x + d,注意到f(0)=d,则有f(x)-f(0) = x³ -3x² +3x .
(2).将f(x)和f'(x)的表达式代入f(x)＞f'(x)中得到
x³ -6x² +9x -3>-d,x∈[-1,4],因此,我们只需要求g(x)=x³ -6x² +9x -3在x∈[-1,4]上的最小值即可.
由g'(x)=3x² -12x + 9=0得极值可疑点x=1或x=3.又由于g''(1)=-60知,g(x)在x=3处取得极小值g(3)=-3,而在区间端点上有g(-1)=-19,g(4)=4,故,g(x)在区间[-1,4]上的最小值为-19.
从而有-19>-d,即d>19,也即f(0)>19.
三次函数为f ( x ) =ax^3+bx^2+cx
求导之后f '( x )=3ax^2+2bx+c
把f'(1)=0,f'(2)=3,f'(3)=12代入导函数得三个函数式：
3a+2b+c=0 (1)
12a+4b+c=3 (2)
27a+6b+c=12 (3)
(2)-(1) 得 9a...
全部展开
三次函数为f ( x ) =ax^3+bx^2+cx
求导之后f '( x )=3ax^2+2bx+c
把f'(1)=0,f'(2)=3,f'(3)=12代入导函数得三个函数式：
3a+2b+c=0 (1)
12a+4b+c=3 (2)
27a+6b+c=12 (3)
(2)-(1) 得 9a+2b=3 (4)
(3)-(2) 得 15a+2b=9 (5)
(5)-(4) 得 a=1
将a=1代入(4) 得 b=-3
将a=1，b=-3代入(1)得 c=3
所以三次函数f ( x )=x^3-3x^2+3x
收起
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f'(1) = 3a + 2b + c = 0
f'(2) = 12a + 4b + c = 3
f'(3) = 18a + 6b + c = 12
a = -2 , b = 10.5 , c = -15
f(x) = -2x³ + 10.5x² - 15x + d
f(x) - f(0) = -2x³ + 10.5x² - 15x