若各项为正的数列《an》的前n项和Sn=1/2(an+1/an),则an=?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 04:43:41
![若各项为正的数列《an》的前n项和Sn=1/2(an+1/an),则an=?](/uploads/image/z/5466944-56-4.jpg?t=%E8%8B%A5%E5%90%84%E9%A1%B9%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%88%97%E3%80%8Aan%E3%80%8B%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8CSn%3D1%2F2%28an%2B1%2Fan%29%2C%E5%88%99an%3D%3F)
若各项为正的数列《an》的前n项和Sn=1/2(an+1/an),则an=?
若各项为正的数列《an》的前n项和Sn=1/2(an+1/an),则an=?
若各项为正的数列《an》的前n项和Sn=1/2(an+1/an),则an=?
两边同乘2an 2anSn=an²+1
2(Sn-Sn-1)Sn=(Sn-Sn-1)²+1
(Sn-Sn-1)【2Sn-(Sn-Sn-1)】=1
Sn²-Sn-1²=1 a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√(n-1)
将an化为Sn-Sn-1,则可得到Sn=1/2(Sn-Sn-i+1/(Sn-Sn-1)),化简可得Sn+Sn-1=1/(Sn-Sn-1),去掉分母得Sn^2-Sn-1^2=1,故数列{Sn^2}为等差数列,又有a1=S1=1,故Sn^2=n,而各项为正数,所以Sn=√n,故n≥2时,an=Sn-Sn-1=√n-√(n-1),而an=1∈an,故an=√n-√(n-1)
设正数列{an}为{a1,a2,a3,┄┄an}, 则数列{sN}为{a1,(a1+a2),(a1+a2+a3),┄┄+(a1+a2+a3+┄+an)}
Sn=1/2(an+1/an), S1=1/2(a1+1/a1),a1=1/2(a1+1/a1),得a1=1; S2=1/2(a2+1/a2)=a1+a2=1+a2,
得a2=√2-1; S3=1/2(a3+1/a3)=a1...
全部展开
设正数列{an}为{a1,a2,a3,┄┄an}, 则数列{sN}为{a1,(a1+a2),(a1+a2+a3),┄┄+(a1+a2+a3+┄+an)}
Sn=1/2(an+1/an), S1=1/2(a1+1/a1),a1=1/2(a1+1/a1),得a1=1; S2=1/2(a2+1/a2)=a1+a2=1+a2,
得a2=√2-1; S3=1/2(a3+1/a3)=a1+a2+a3=1+√2-1+a3,得a3=√3-√2.
设a(n-1)=√(n-1)-√(n-2)成立,Sn=S(n-1)+an=1/2[√(n-1)-√(n-2)+1/(√(n-1)-√(n-2)]+an=√(n-1)+an
Sn=1/2(an+1/an)=√(n-1)+an, (an)²+2√(n-1)*an-1=0, an={-2√(n-1)±√[4(n-1)+4]}/2=-√(n-1)±√n
取an=√n-√(n-1) 则 an=√n-√(n-1)成立。 数列的通项公式为an=√n-√(n-1)
收起