如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/17 18:24:21
![如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.](/uploads/image/z/5472173-29-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E4%B8%BA%E6%A3%B1%E5%BD%A2%2CPA%E2%8A%A5%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%2CAC%3D2%E6%A0%B9%E5%8F%B72%2CPA%3D2...E%E6%98%AFPC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2CPE%3D2EC.%E8%AE%BE%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A-PB-C%E4%B8%BA90%C2%B0%2C%E6%B1%82PD%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PBC%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92.)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...
E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
分析:(I)先由已知建立空间直角坐标系,设D(
2,b,0),从而写出相关点和相关向量的坐标,利用向量垂直的充要条件,证明PC⊥BE,PC⊥DE,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可;
(II)先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得线面角(I)以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系A-xyz,
设D(2,b,0),则C(22,0,0),P(0,0,2),E(4
23,0,23),B(2,-b,0)
∴PC=(22,0,-2),BE=(23,b,23),DE=(23,-b,23)
∴PC•BE=43-43=0,PC•DE=0
∴PC⊥BE,PC⊥DE,BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
(II)AP=(0,0,2),AB=(2,-b,0)
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则m•
AP=2z=0m•
AB=
2x-by=0
取m=(b,2,0)
设平面PBC的法向量为n=(p,q,r),则n•
PC=2
2p-2r=0n•
BE=
23p+bq+
23r=0
取n=(1,-2b,2)
∵平面PAB⊥平面PBC,∴m•n=b-2b=0.故b=2
∴n=(1,-1,2),DP=(-2,-2,2)
∴cos<DP,n>=n•
DP|
n|•|
DP |=12
设PD与平面PBC所成角为θ,则sinθ=12
∴θ=30°
建系吧,以AP为X轴,AC为X轴,AD为Y轴,利用二面角为90度,求B点的坐标,再求成角就行了
过C作CF平行且等于BP,连接PF、DF,过D作DG⊥CF于G,连接PG ∵CD平行且等于AB ∴面CDF平行面BAP ∴DG⊥面BCFP 又∵DG⊥PG ∴角DPG为所求的 又∵AD²+AP²+AD²=AP²+AC² ∴AD=2 ∴DP=2根号2,DG=0.5CF=0.5DP=根号2 ∴角DPG=30°