解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 14:45:45
解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值
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解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值
解三角形
已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值

解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值
S=a^-(b-c)^2
=a^2-b^2-c^2+2bc
=-2bccosA+2bc
=2bc(1-cosA)
而面积公式还有S=(1/2)bcsinA
故sinA=4(1-cosA),解得cosA=15/17,1(舍去)
所以S=2bc(1-15/17)
=4bc/17
≤4[(b+c)/2]^2/17
=4(8/2)^2/17
=64/17
“=”当且仅当b=c=4时取得.

根据余玄定理： a²＝b²＋c²－2bccosA，及b+c=8代入S=a^2-(b-c)^2，化简成只有b与cosA的函数，根据-1≤cosA≤1求解二次函数最大值即可。

aS=a^2-(b-c)^2<=a^2<64, 当b=c=4时S取最大值,无限接近64.

.....

S=a^2-(b-c)^2=a^2-（b+c）^2+4bc
又由余弦定理知a^2=b^2+c^2-2bccosA=（b+c）^2-2bc-2bccosA
所以代入上式得S=2bc-2bccosA
又S=1/2bcsinA
所以得2bc-2bccosA=1/2bcsinA 即4-4cosA=sinA

全部展开

S=a^2-(b-c)^2=a^2-（b+c）^2+4bc
又由余弦定理知a^2=b^2+c^2-2bccosA=（b+c）^2-2bc-2bccosA
所以代入上式得S=2bc-2bccosA
又S=1/2bcsinA
所以得2bc-2bccosA=1/2bcsinA 即4-4cosA=sinA
由sinA^2+cosA^=1 j解得sinA=8/17
所以S=1/2bcsinA=4/17*bc≤ 4/17*[(b+c)/2]^2=64/17
所以当且仅当b=c=4时 = 成立 S取得最大值是64/17。

收起

已知abc是三角形abc的三边长,化简 | a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b| 已知ABC是三角形ABC的三边长,化简/A+B-C/+/B-A-C/-/C-A+B/ 已知abc分别为三角形abc的三边长,化简|a+b-c|-|b-c-a|-|c-a+b| 已知三角形ABC的三边长a,b,c满足b+c 已知三角形ABC的三边长a,b,c满足b+c 已知三角形ABC的三边长a,b,c,满足b+2c 已知a,b,c是三角形ABC的三边长,化简根号下(a 关于三角形的数学题已知 a b c 是△ABC的三条边长,化简 |a-b-c| + |a-b+c| + |a+b-c|= _______ 已知a,b,c是三角形ABC三边长,化简|a-b+c|-根号里(a-b-c)的平方. 已知abc是一个三角形的三条边长,化简|a-b-c|+|b-a-c|-|c-a+b| 已知a,b,c是三角形ABC的三条边长,化简|a-b-c|+|a+b+c| 已知a,b,c是三角形ABC的三边长,如何化简|a-b+c|+|c-a-b| 已知abc是三角形的三条边长,试化简代数式|a-b-c|+|a+c-b|+|c-a-b| 已知,三角形ABC的三边长是a、b、c,试化简代数式：|a+b-c|-|b-c-a|. 已知abc是一个三角形的三条边长,化简|a-b-c|+|b-a-c|+|c-a-b| 已知a、b、c是三角形ABC的三条边长,试化简|a-b-c|+|a+b-c| 解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值 已知三角形ABC的三边长a`b`c和面积S＝a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值?