一道求最小值问题：已知：a+b=6,a,b 为正实数 ,求L=4+(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2的最小值.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 19:24:09
一道求最小值问题：已知：a+b=6,a,b 为正实数 ,求L=4+(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2的最小值.
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一道求最小值问题：已知：a+b=6,a,b 为正实数 ,求L=4+(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2的最小值.
一道求最小值问题：已知：a+b=6,a,b 为正实数 ,求L=4+(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2的最小值.

一道求最小值问题：已知：a+b=6,a,b 为正实数 ,求L=4+(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2的最小值.
(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2
=(a^2+25)^1/2+((6-a)^2+9)^1/2
=(a^2+25)^1/2+((a-6)^2+9)^1/2
上式的几何意义就是：点(a,0)到点（0,5）的距离和到点(6,3)的距离和.
由下图可知：该距离和最小值为|CB|=√[(0-6)^2+(-5-3)^2]=10,
L=4+(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2的最小值为14.

L=4+(a^2+25)^1/2+(b^2+9)^1/2≥4+5a+3b≥4+2√(15ab)
a+b≥2√ab
L≥4+6√15
最小值4+6√15

(L-4)^2=a^2+25+b^2+9+2((a^2+25)(b^2+9))^0.5
2((a^2+25)(b^2+9))^0.5>=a^2+25+b^2+9
(L-4)^2>=2(a^2+25+b^2+9)=2((a+b)^2-2ab+34)=2(70-2ab)=140-4ab
所以a=3 b=3时渠道最小值 (L-4)^2=104
L=104^0.5+4

仔细观察(a^2+25)^1/2 和（b^2+9)^1/2会发现根号下是两个数的平方和。想到两点间的距离公式，点A（a,5）O(0,0) B(b,3)
(a^2+25)^1/2 是AO点间距离
b^2+9)^1/2是BO点间距离
L-4=|AO|+|BO|
可进一步求解

先用：A+B〉=2*A*B，再把(a^2+25)中的25，以及(b^2+9)^1/2中的9，用a+b=6适当代替，

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