作业帮关于并集与交集的一道证明题设集合M={x|x=12a+8b,a、b∈Z},N={x|x=20c+16dM=,c、d∈Z},求证;M∩N=M∪N.(书上有解答但是看不懂,希望能对这道题给出完整的分析和解答过程)谢谢拉!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 17:39:51
关于并集与交集的一道证明题设集合M={x|x=12a+8b,a、b∈Z},N={x|x=20c+16dM=,c、d∈Z},求证;M∩N=M∪N.(书上有解答但是看不懂,希望能对这道题给出完整的分析和解答过程)谢谢拉!
关于并集与交集的一道证明题
设集合M={x|x=12a+8b,a、b∈Z},N={x|x=20c+16dM=,c、d∈Z},求证;M∩N=M∪N.(书上有解答但是看不懂,希望能对这道题给出完整的分析和解答过程)谢谢拉!
关于并集与交集的一道证明题设集合M={x|x=12a+8b,a、b∈Z},N={x|x=20c+16dM=,c、d∈Z},求证;M∩N=M∪N.(书上有解答但是看不懂,希望能对这道题给出完整的分析和解答过程)谢谢拉!
N={x|x=20c+16dM=,c、d∈Z}?
是N={x|x=20c+16d ,c、d∈Z}吧～
我先告诉你一个定理：
对于互质(互素)的两个自然数x和y,可以用ax+by（a,b为整数）来表示任何一个整数.
（大概意思是这样的,后面我会附带上证明）
则M={x|x=12a+8b,a、b∈Z}
={x|x=4(3a+2b),a、b∈Z} (3与2互质,由上定理）
={x|x=4f,f∈Z},
同理,N={x|x=20c+16d,c、d∈Z}
={x|x=4(5c+4d),c、d∈Z} (5与4互质,由上定理)
={x|x=4f,f∈Z}
所以 M N
所以 M∩N = M = M∪N
附带证明：
对于互质的x和y
不妨设
x (mod y) ≡ a1 (取余数的运算,例如9 (mod 2) ≡ 1)
2x (mod y) ≡ a2 (a后面的数字为脚标,不是乘!）
3x (mod y) ≡ a3
.
(y-1)x (mod y) ≡ a(y-1)
因为x与y互质,则a1,a2,a3.a(y-1)两两各不相同
(假设出现了am = an(m,n为角标),
则表示(mx - nx) = (m - n)x (mod y) ≡ 0 (这里的mx表示乘)
与x与y互质矛盾)
所以a1,a2,a3.a(y-1)这y-1个数只能取1,2.y-1这y-1个数,
也就是说一定存在ap(p为脚标)=1
即px (mod y) ≡ 1
也就是说存在(mx - ny) = 1
所以对于任意整数z
可得 (mz)x + (-nz)y = z
证毕!
因为12a+8b=4(3a+2b)
20c+16d=4(5c+4d)
a.b.c.d均为Z
则M={x|x=4n,n∈Z},N={x|x=4n，n∈Z},
所以M＝N
则M∩N=M∪N
根据
12a+8b=4(3a+2b)
20c+16d=4(5c+4d)
可知M.N都是偶数的表达式
abcd都是属于整数集合
所以M∩N=M∪NM=N
12a+8b=4(3a+2b)
20c+16d=4(5c+4d)
因为a.b.c.d均为Z
所以M＝N