∫ lnx定积分怎么算为什么不存在？

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 14:22:18
∫ lnx定积分怎么算为什么不存在？
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∫ lnx定积分怎么算为什么不存在？
∫ lnx定积分怎么算
为什么不存在？

∫ lnx定积分怎么算为什么不存在？
∫lnxdx
=xlnx-∫xdlnx
=xlnx-∫x*1/xdx
=xlnx-∫dx
=xlnx-x+C
x趋于0
xlnx=lnx/(1/x)是∞/∞
用洛必达法则
分子求导=1/x
分母求导=-1/x²
所以是-x,趋于0
所以x趋于0,xlnx-x极限=0
所以原式=(elne-e)-0=0

这个积分不存在。。。

分部积分，∫<0,e> lnxdx=xlnx|<0,e>-∫<0,e>x*1/xdx
=xlnx-x|<0,e>
但是ln0=-oo的， 估计积分限是∫<1,e>吧？

说明：这不是普通积分，这叫“瑕积分”。这是因为x=0点是lnx的瑕点。解法如下。
原式=lim(η->0)∫(η,e)lnxdx
=lim(η->0)[(xlnx)│(η,e)-∫(η,e)dx] (应用分部积分法)
=lim(η->0)[e-ηlnη-(x)│(η,e)]
=lim(η->0)(e-ηlnη-e+η...

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说明：这不是普通积分，这叫“瑕积分”。这是因为x=0点是lnx的瑕点。解法如下。
原式=lim(η->0)∫(η,e)lnxdx
=lim(η->0)[(xlnx)│(η,e)-∫(η,e)dx] (应用分部积分法)
=lim(η->0)[e-ηlnη-(x)│(η,e)]
=lim(η->0)(e-ηlnη-e+η)
=lim(η->0)(η-ηlnη)
=lim(η->0)[(1-lnη)/(1/η)]
=lim(η->0)[(-1/η)/(-1/η²)] (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=lim(η->0)(η)
=0

收起

直接利用直接用广义积分
∫<0,e> lnx
= (xlnx-x)|<0,e>
= (e*ln(e) - lim0>xlnx) - (e-0)
= 0
兄弟注意求lim0>xlnx的方法，利用洛必达法则：
xlnx=lnx/(1/x),
(lnx)'=1/x,
(1/x)'=-1/x^2
所以lim0>xlnx=0

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