已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)(1)求g(x)的解析式(2)设F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,正无穷)上单调递增,求a的取值范围(3)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 08:32:04
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已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)(1)求g(x)的解析式(2)设F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,正无穷)上单调递增,求a的取值范围(3)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值
已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)
(1)求g(x)的解析式
(2)设F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,正无穷)上单调递增,求a的取值范围
(3)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值
已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)(1)求g(x)的解析式(2)设F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,正无穷)上单调递增,求a的取值范围(3)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值
(1)f(x)=lnx-a/x,函数定义域为(0,+∞),
求导得:f′(x)=(1/x)+a/x^2
f′(1)=1+a ,
点(1,f(1))即(1,-a)
所以函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为:
y+a=(1+a)(x-1)
所以y=g(x)=(1+a)*x-(1+2a) 其中x∈(0,+∞);
(2)F(x)=f(x)-g(x)=lnx-a/x-(1+a)*x+(1+2a)
求导得:
F′(x)=(1/x)+a/x^2-(1+a)
=[-(1+a)*(x^2)+x+a]/x^2
F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,+∞)上单调递增,
因此F′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
所以:-(1+a)*(x^2)+x+a≥0在[1,+∞)上恒成立,
当x=1时,明显成立,
当x≠1时,分离参数得:a≤1-1/(x+1)在(1,+∞)上恒成立,
因此a≤1/2
综上可知:若F(x)在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围为(-∞,1/2]
(3)由(1)知f′(x)=(1/x)+a/x^2,
若a≥0,则f′(x)>0,函数f(x)单调递增,在x=1处取得最小值,
此时最小值为-a≤0≠3/2
所以必须a
(1)f(x)'=1/x+a/x^2
所以g(x)过点(1,-a)斜率为:a+1
(2)F(x)=INx-(a+1)x-a/x^2
F(x)'=1/x+(a+1)/x^2+2a/x^3>0,1<=x
(3)f(x)'=(x+a)/x^2
1.a<-e,x+a<0
f(e)=3/2
a=-2/e
2.-e<=a<-1,f(-a)=3/2
a=-e^0.5
3.a>=-1,x+a>=0
f(1)=3/2
a=-3/2(不成立)