作业帮是一道平面向量题!在三角形ABC中,A+B=60度,外接圆的半径为R,求asinA+bsinB的范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 19:36:57
是一道平面向量题!在三角形ABC中,A+B=60度,外接圆的半径为R,求asinA+bsinB的范围.
是一道平面向量题!
在三角形ABC中,A+B=60度,外接圆的半径为R,求asinA+bsinB的范围.
是一道平面向量题!在三角形ABC中,A+B=60度,外接圆的半径为R,求asinA+bsinB的范围.
结果：[R,3/2*R) 说明：下面的π 是派 而不是n
由正弦定理得 a/sinA=b/sinB=2R
所以 a=2R*sinA b=2R*sinB
代入asinA+bsinB得
asinA+bsinB
=2R*sinA*sinA+2R*sinB*sinB
=2R*(sinA^2+sinB^2)
=2R*(sinA^2+sin(π/3 -A）^2)
=2R*(sinA^2+[sin(π/3)*cosA-cos(π/3)*sinA]^2)
=R/2*(3+2sinA^2-2*根号3*sinA*cosA)
由二倍角定理可得 cos2A=1-2sinA^2
sin2A=2sinAcosA
即 2sinA^2=1-cos2A
2sinAcosA=sin2A 代入得
=R/2*[4-2（1/2*根号3*sin2A+1/2*cos2A)]
=R/2*[4-2sin(2A+π/6)]
因为 0°< A
过C做AB的垂线CD,asinA+bsinB=(a/b+b/a)*CD,
因为a/b,b/a都属于[0,1],所以a=b=R取最大,而CD也在a=b最大.最大值为R
最小为顶点C和A,B重和时,为0
我和你一样静静的期盼···
设外接圆的圆心为O，
则对于三角形OAB，OA=OB=R，∠AOB=2∠C=120度，所以c=√3*R。
对于三角形ABC运用余弦定理，可得
c^2=(√3*R)^2=3R^2=a^2+b^2-2ab*cos(60度)=a^2+b^2-ab。
所以
(a+b)^2/R^2=3(a+b)^2/(3*R^2)=3(a+b)^2/(a^2+b^2-ab)...
全部展开
设外接圆的圆心为O，
则对于三角形OAB，OA=OB=R，∠AOB=2∠C=120度，所以c=√3*R。
对于三角形ABC运用余弦定理，可得
c^2=(√3*R)^2=3R^2=a^2+b^2-2ab*cos(60度)=a^2+b^2-ab。
所以
(a+b)^2/R^2=3(a+b)^2/(3*R^2)=3(a+b)^2/(a^2+b^2-ab)
=3(1+3ab/(a^2+b^2-ab))≤3(1+3ab/(2ab-ab))≤12
所以(a+b)/R≤2√3，当且仅当a=b即三角形ABC为等边三角形时等号成立。
收起