已知O、P1、P2、P3是直角坐标系平面上的四点,O是坐标原点,且向量OP1=(根号3乘以cosa-sina,cosa+根号3乘sina),向量OP2=(-4sina,4cosa),向量OP3=(1/2*sina,1/2*cosa),其中a属于0到二分之π (1)求向量OP1与向
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/25 00:40:53
已知O、P1、P2、P3是直角坐标系平面上的四点,O是坐标原点,且向量OP1=(根号3乘以cosa-sina,cosa+根号3乘sina),向量OP2=(-4sina,4cosa),向量OP3=(1/2*sina,1/2*cosa),其中a属于0到二分之π (1)求向量OP1与向
已知O、P1、P2、P3是直角坐标系平面上的四点,O是坐标原点,且向量OP1=(根号3乘以cosa-sina,cosa+根号3乘
sina),向量OP2=(-4sina,4cosa),向量OP3=(1/2*sina,1/2*cosa),其中a属于0到二分之π
(1)求向量OP1与向量P1P2的夹角
(2)若O、P1、P2、P3四点在同一圆周上,求cos2a的值
希望尽量详细一点!
已知O、P1、P2、P3是直角坐标系平面上的四点,O是坐标原点,且向量OP1=(根号3乘以cosa-sina,cosa+根号3乘sina),向量OP2=(-4sina,4cosa),向量OP3=(1/2*sina,1/2*cosa),其中a属于0到二分之π (1)求向量OP1与向
(1)设它们的夹角为b,
向量P1P2=向量OP2-向量OP1=(-3sina-根号3*cosa, 3cosa-根号3*sina);
|op1|=【(根号3*cosa-sina)的平方+(cosa+根号3*sina)的平方】开根号=2;
|p1p2|=【(3sina+根号3*cosa)的平方+(3cosa-根号3*sina)的平方】开根号=2*根号3;
①|op1|*|p1p2|*cosb=向量op1 *向量p1p2;由①得4根号3*cosb=0;
因此cosb=0,而且是向量的夹角,因而b∈(0,π),所以,夹角b=90°.
⑵若O、P1、P2、P3四点在同一圆周上,则假设此圆的圆心为(c,d),方程为(x-c)的平方+(y-d)的平方=R的平方;
且此时这四个点同时满足这个圆的方程.
又因为由题跟第一问得知,op1与p1p2的夹角是直角,则可知op2的模是2R,
推出:2R=4,得到R=2;
由题算出|OP3|=1/2;又因为op2是此圆的一条直径,所以△op2p3也是直角三角形,得出
p2p3=【op2的平方-op3的平方】开根号=(根号63)/2;
∵S△op2p3=1/2*op3*p2p3=op2*op3*sin∠p3op2 ;
∴cos∠p3op2sin∠p3op2=(根号63)/16;即cos∠p3op2=(根号193)/16;
又∵向量op3*向量op2=2cos2a=|op2|*|op3|*coscos∠p3op2;
∴cos2a=(根号193)/16
(不知道怎么打数学符号出来,可能看得比较纠结、、、)