sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求具体分析
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/26 22:57:00
![sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求具体分析](/uploads/image/z/5571851-59-1.jpg?t=sinx%2Fx+%E9%9B%B6%E5%88%B0%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%E7%9A%84%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%80%8E%E4%B9%88%E6%B1%82%E5%85%B7%E4%BD%93%E5%88%86%E6%9E%90)
sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求具体分析
sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求
具体分析
sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求具体分析
对sinx泰勒展开,再除以x有:
sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1)
两边求积分有:
∫sinx/x·dx
=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]
从0到无穷定积分
则将0,x(x→00)(这里的x是一个很大的常数,可以任意取)代入上式右边并相减,通过计算机即可得到结果
以上只是个人意见,以下是高手的做法:
(高手出马,非同凡响!)
考虑广义二重积分
I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy
D
其中D = [0,+∞)×[0,+∞),
今按两种不同的次序进行积分得
I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy
0 +∞ 0 +∞
= ∫sinx·(1/x)dx
0 +∞
另一方面,交换积分顺序有:
I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy
D
=∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx
0 +∞ 0 +∞
=∫dy/(1+y^2)=arc tan+∞-arc tan0
0 +∞
= π/2
所以:
∫sinx·(1/x)dx=π/2
0 +∞
使用sinx/x的留数
使用无平穷级数
狄立克雷积分
办法1。考虑∫(0,+infinity)(sin ax)/x这个积分的一致连续性
参加复旦大学欧阳光中《数学分析》 第三版
这个办法比较繁琐 但是比较巧妙了
259 260学了一致连续就能看懂
办法2。复变函数里留数定理也可以解决请参见《复变函数论》第三版 钟玉泉 247页
ps:没有教材可以在网上直接下电子书...
全部展开
狄立克雷积分
办法1。考虑∫(0,+infinity)(sin ax)/x这个积分的一致连续性
参加复旦大学欧阳光中《数学分析》 第三版
这个办法比较繁琐 但是比较巧妙了
259 260学了一致连续就能看懂
办法2。复变函数里留数定理也可以解决请参见《复变函数论》第三版 钟玉泉 247页
ps:没有教材可以在网上直接下电子书
收起