作业帮已知双曲线x^2/a^2—y^2/ b^2 =1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2(其中原点O为圆心),过双曲线C上一点P(X.,Y.)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 02:55:28
已知双曲线x^2/a^2—y^2/ b^2 =1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2(其中原点O为圆心),过双曲线C上一点P(X.,Y.)
已知双曲线x^2/a^2—y^2/ b^2 =1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2(其中原点O为圆心),过双曲线C上一点P(X.,Y.)
已知双曲线x^2/a^2—y^2/ b^2 =1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2(其中原点O为圆心),过双曲线C上一点P(X.,Y.)
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设点M为双曲线的右顶点。
(1)当∠APB=90°时，因为OA⊥PA，OB⊥PB，且OA=OB，所以四边形OABP是正方形。所以OP=√2OA=√2b.又OP>=OM=a，所以a<=√2b,即a2<=2b2.又b2=c2-a2，所以a2<=2（c2-a2），即（c/a）2>=3/2.所以e>=√6/2.
(2)设点A的坐标为（x，y），因为OA⊥PA，所以(y/x)[(y-y0)/...
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设点M为双曲线的右顶点。
(1)当∠APB=90°时，因为OA⊥PA，OB⊥PB，且OA=OB，所以四边形OABP是正方形。所以OP=√2OA=√2b.又OP>=OM=a，所以a<=√2b,即a2<=2b2.又b2=c2-a2，所以a2<=2（c2-a2），即（c/a）2>=3/2.所以e>=√6/2.
(2)设点A的坐标为（x，y），因为OA⊥PA，所以(y/x)[(y-y0)/(x-x0)]=-1.化简得x2+y2-xx0-yy0=0.又点A在圆上，所以x2+y2=b2，所以xx0+yy0-b2=0。同理点B也在此直线上，所以直线AB的方程为xx0+yy0-b2=0。
（3）若e>=√6/2，即双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，则S△OAB=1/2OA*OBsin∠AOB<=1/2OA*OB=1/2b2.
若e<√6/2,即双曲线C上不存在点P，使得∠APB=90°，则∠APB为锐角，且当点P在双曲线的顶点上时，∠APB最大，此时∠AOB的正弦值最大。所以S△OAB=1/2OA*OBsin∠AOB<=b3√(a2-b2)/a2.
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