过点(1,1)作直线,交y=1/2x^2于AB两点,在AB处分别作抛物线切线,求两切线交点轨迹.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 02:49:15
![过点(1,1)作直线,交y=1/2x^2于AB两点,在AB处分别作抛物线切线,求两切线交点轨迹.](/uploads/image/z/5584448-56-8.jpg?t=%E8%BF%87%E7%82%B9%EF%BC%881%2C1%EF%BC%89%E4%BD%9C%E7%9B%B4%E7%BA%BF%2C%E4%BA%A4y%3D1%2F2x%5E2%E4%BA%8EAB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E5%9C%A8AB%E5%A4%84%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BD%9C%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E5%88%87%E7%BA%BF%2C%E6%B1%82%E4%B8%A4%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E7%82%B9%E8%BD%A8%E8%BF%B9.)
过点(1,1)作直线,交y=1/2x^2于AB两点,在AB处分别作抛物线切线,求两切线交点轨迹.
过点(1,1)作直线,交y=1/2x^2于AB两点,在AB处分别作抛物线切线,求两切线交点轨迹.
过点(1,1)作直线,交y=1/2x^2于AB两点,在AB处分别作抛物线切线,求两切线交点轨迹.
设过点(1,1)直线为y=k(x-1)+1
则A、B两点横坐标x1、x2为方程k(x-1)+1=1/2*x^2的两个根,解得
x1=k+(k^2-2k+2)^0.5,x2=k-(k^2-2k+2)^0.5
将x1、x2代入直线方程
得到对应的A、B两点纵坐标
y1=k^2-k+1+k*(k^2-2k+2)^0.5
y2=k^2-k+1-k*(k^2-2k+2)^0.5
对y=1/2*x^2求导得到y'=x
所以A点的切线斜率k1=x1=k+(k^2-2k+2)^0.5
B点的切线斜率k2=x2=k-(k^2-2k+2)^0.5
A点的切线方程y=(k+(k^2-2k+2)^0.5)*(x-k-(k^2-2k+2)^0.5)+k^2-k+1+k*(k^2-2k+2)^0.5 (1)
B点的切线方程y=(k-(k^2-2k+2)^0.5)*(x-k+(k^2-2k+2)^0.5)+k^2-k+1-k*(k^2-2k+2)^0.5 (2)
联立(1)、(2)解得两切线焦点
x0=2*k-2k*(k^2-2k+2)^0.5/(2*(k^2-2k+2)^0.5)=k (3)
y0=k-1 (4)
联立(3)、(4)得到
y0=x0-1
即交点轨迹方程为y=x-1
y
http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/x2.png
完整解如下