若函数f(x)=x/(mx²+mx+1)的值域为R,则m的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/25 06:02:11
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若函数f(x)=x/(mx²+mx+1)的值域为R,则m的取值范围
若函数f(x)=x/(mx²+mx+1)的值域为R,则m的取值范围
若函数f(x)=x/(mx²+mx+1)的值域为R,则m的取值范围
若函数f(x)=x/(mx²+mx+1)的值域为R,
只须mx²+mx+1≠0
(1)m=0时,满足结论
(2)不论m大于0或小于0,y=mx²+mx+1 中当△=b²-4ac=m²-4m0
原函数可变为myx²+(my-1)x+y=0
令Δ>=0得(m²-4m)y²-2my+1>=0
y取实数恒成立
所以 Δ<=0
m<=0
(1)当m=0时,明显成立。
(2)当m不等于0时
令y=x/(mx²+mx+1),易知分母不为0,变式得y(mx²+mx+1)=x,
整理后得ymx²+(ym-1)x+y=0,f(x)的值域是R,所以对任意的y,关于x的一元二次方程
ymx²+(ym-1)x+y=0恒有解,所以△=b²-4ac=(ym-1)...
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(1)当m=0时,明显成立。
(2)当m不等于0时
令y=x/(mx²+mx+1),易知分母不为0,变式得y(mx²+mx+1)=x,
整理后得ymx²+(ym-1)x+y=0,f(x)的值域是R,所以对任意的y,关于x的一元二次方程
ymx²+(ym-1)x+y=0恒有解,所以△=b²-4ac=(ym-1)²-4y²m>=0
即y²m²-2ym+1-4y²m>=0,再将此方程左边看作是一个关于f(y)的二次函数,则此函数
对定义域R恒有值大于等于0,故对f(y)=(m²-4m)y²-2my+1,有
m²-4m>0且(2m)²-4(m²-4m)<0,解不等式组得,m<0.
综上可知m<=0
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