作业帮如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,点P从A出发沿直线AB运动,过点P作PF//BC,交线段AC于点F.（1）点P在运动的过程中,△APF的形状_____ (填“改变”或“不变”),如果改变,请指出所有可能出现的形状；如
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 15:41:42
如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,点P从A出发沿直线AB运动,过点P作PF//BC,交线段AC于点F.（1）点P在运动的过程中,△APF的形状_____ (填“改变”或“不变”),如果改变,请指出所有可能出现的形状；如
如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,点P从A出发沿直线AB运动,过点P作PF//BC,交线段AC于点F.
（1）点P在运动的过程中,△APF的形状_____ (填“改变”或“不变”),如果改变,请指出所有可能出现的形状；如果不变,请指出它是什么三角形.________
（2）如图2,以顶点B为坐标原点,线段AB所在直线为X轴,建立平面直角坐标系,点P从A出发的同时,点Q从C出发沿BC的延长线运动,它们的运动速度相同,连线PQ与边AC交于点D.
①当AP为何值时,S△PCQ=1/4S△ABC
②作PE垂直AC于点E,当点P,Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.
如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,点P从A出发沿直线AB运动,过点P作PF//BC,交线段AC于点F.（1）点P在运动的过程中,△APF的形状_____ (填“改变”或“不变”),如果改变,请指出所有可能出现的形状；如
分析：1）根据等腰直角三角形的性质求出∠A=∠C=45°,根据两直线平行,同位角相等求出∠AFP=∠C=45°,从而判断出△APF是等腰直角三角形；
（2）①设AP=CQ=x,表示出PB,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
②过Q作QF⊥AC交AC延长线于F,利用“角角边”证明△QCF和△PAE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=CF,EP=QF,从而得出AC=EF,再利用“角角边”证明△EPD和△FQD全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=DF,从而得解．
∵∠B=90°,AB=BC,
∴∠A=∠C=45°,
∵PF∥BC,
∴∠AFP=∠C=45°,
∴△APF是等腰直角三角形,
故答案为：不变,等腰直角三角形；
（2）①设AP=CQ=x,则BP=2-x,
∵S△PCQ=
1
4
S△ABC,
∴
1
2
x（2-x）=
1
4
×（
1
2
×2×2）,
整理得,x2-2x+1=0,
解得x=1,
∴AP=1；
②答：DE的长度不改变,是个定值．
证明：如图,过Q作QF⊥AC交AC延长线于F,
则∠QCF=∠ACB=∠A=45°,
∵PE⊥AC,
∴∠AEP=90°,
∴∠AEP=∠F=90°,
∵点P、Q的速度相等,
∴AP=CQ,
在△QCF和△PAE中,
∠QCF＝∠A
∠AEP＝∠F＝90°
AP＝CQ
,
∴△QCF≌△PAE（AAS）,
∴AE=CF,EP=QF,
∴AC=AE+EC=CF+EC=EF,
在△EPD和△FQD中,
∠AEP＝∠F＝90°
∠QDF＝∠PDE
EP＝QF
,
∴△EPD≌△FQD（AAS）,
∴DE=DF,
∴DE=
1
2
EF=
1
2
AC,
∵∠B=90°,AB=BC=2,
∴AC=
AB2+BC2
=
22+22
=2
2
,
∴DE=
1
2
×2
2
=
2
是定值．