若a>0,b>0,a^3+b^3=2,求证：a+b

若a>0,b>0,a^3+b^3=2,求证：a+b
若a>0,b>0,a^3+b^3=2,求证：a+b

若a>0,b>0,a^3+b^3=2,求证：a+b
a^3+b^3=2
(a+b)(a^2-ab+b^2)=2
(a+b)*(a^2+b^2+2ab-3ab)=2
(a+b)*[(a+b)^2-3/4(4ab)]=2
求证：2≥a+b
因为
a>0 b>0
a^2+b^2≥2ab
a^2+b^2+2ab≥4ab
那么(a+b)^2≥4ab
所以(a+b)*[(a+b)^2-3/4(4ab)]≥(a+b)*[(a+b)^2-3/4(a+b)^2]=1/4(a+b)^3
那么2^3≥(a+b)^3
所以2≥a+b
求证：1≥ab
因为
(a+b)^2≤4
(a+b)^2≥4ab
那么4≥(a+b)^2≥4ab
所以1≥ab
得证

a^3+b^3=2
∴(a+b)(a^2-ab+b^2)=2
根据基本不等式a^2+b^2≥2ab
∴(a+b)(2ab-ab)≤(a+b)(a^2-ab+b^2)=2
∴ab(a+b)≤2
根据基本不等式ab≤[(a+b)/2]^2
∴[(a+b)^3]/4≤2
整理可得a+b≤2,当且仅当a=b=1取等号
∵根据基本不等式ab≤[...

全部展开

a^3+b^3=2
∴(a+b)(a^2-ab+b^2)=2
根据基本不等式a^2+b^2≥2ab
∴(a+b)(2ab-ab)≤(a+b)(a^2-ab+b^2)=2
∴ab(a+b)≤2
根据基本不等式ab≤[(a+b)/2]^2
∴[(a+b)^3]/4≤2
整理可得a+b≤2,当且仅当a=b=1取等号
∵根据基本不等式ab≤[(a+b)/2]^2
∴(a+b)^2≥4ab
∵ab(a+b)≤2
∴a^2*b^2(a+b)^2≤4
将(a+b)^2≥4ab带入
可得4a^3*b^3≤4
整理得ab≤1,当且仅当a=b=1取等号

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