a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c后面的2是平方我记得那一天算的 3楼分母有问题
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/10 22:59:44
![a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c后面的2是平方我记得那一天算的 3楼分母有问题](/uploads/image/z/564862-22-2.jpg?t=a%2Cb%2Cc%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E8%AF%81%E6%98%8Ea2%5Cb%2Bb2%5Cc%2Bc2%5Ca%3E%3Da%2Bb%2Bc%E5%90%8E%E9%9D%A2%E7%9A%842%E6%98%AF%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%88%91%E8%AE%B0%E5%BE%97%E9%82%A3%E4%B8%80%E5%A4%A9%E7%AE%97%E7%9A%84+3%E6%A5%BC%E5%88%86%E6%AF%8D%E6%9C%89%E9%97%AE%E9%A2%98)
a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c后面的2是平方我记得那一天算的 3楼分母有问题
a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c
后面的2是平方
我记得那一天算的 3楼分母有问题
a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c后面的2是平方我记得那一天算的 3楼分母有问题
a2\b+b2\c+c2\a+(a+b+c)
=(a2\b+b)+(b2\c+c)+(c2\a+a)
=(a2+b2)\b+(b2+c2)\c+(c2+a2)\a
因为a,b,c为正实数,(a-b)2>=0 --> a2+b2>=2ab
同理:b2+c2>=2bc c2+a2>=2ac
则:
原式=(a2+b2)\b+(b2+c2)\c+(c2+a2)\a
>=2ab\b+2bc\c+2ca\a=2a+2b+2c
即
a2\b+b2\c+c2\a-(a+b+c)>=2a+2b+2c
所以
a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c
我们假设 a>=b>=c>0,那么,我们来比较:
(b^2/c+c^2/a)-(b^2/a+c^2/c)
将上式移项通分后就有:
(b+c)(b-c)(a-c)/ac
显然在a>=b>=c>0时,上式是>=0的
所以有 (b^2/c+c^2/a)>=(b^2/a+c)
这样
a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a^2/b+b^2/a+c
全部展开
我们假设 a>=b>=c>0,那么,我们来比较:
(b^2/c+c^2/a)-(b^2/a+c^2/c)
将上式移项通分后就有:
(b+c)(b-c)(a-c)/ac
显然在a>=b>=c>0时,上式是>=0的
所以有 (b^2/c+c^2/a)>=(b^2/a+c)
这样
a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a^2/b+b^2/a+c
而a^2/b+b^2/a>=a^2/a+b^2/b=a+b,是很容易证明的,一移项通分就能证明
这样就有了:
a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a^2/b+b^2/a+c>=a+b+c
楼上证明的错误在于:
(a2-b2)\b>=(a2-b2)\(a+b+c)
当a2-b2<0呢?同理后面的2个式也是不成立的。
收起
a2\b-a=(a2-ab)\b=(a2-2ab+b2-b2+ab)\b
=(a-b)2\b+a-b
同理
b2\c-b=(b-c)2\c+b-c
c2\a-c=(c-a)2\a+c-a
所以
a2\b-a + b2\c-b + c2\a-c
=(a-b)2\b+a-b + (b-c)2\c+b-c + (c-a)2\a+c-a
=(...
全部展开
a2\b-a=(a2-ab)\b=(a2-2ab+b2-b2+ab)\b
=(a-b)2\b+a-b
同理
b2\c-b=(b-c)2\c+b-c
c2\a-c=(c-a)2\a+c-a
所以
a2\b-a + b2\c-b + c2\a-c
=(a-b)2\b+a-b + (b-c)2\c+b-c + (c-a)2\a+c-a
=(a-b)2\b + (b-c)2\c + (c-a)2\a
因为a,b,c为正实数
所以(a-b)2\b + (b-c)2\c + (c-a)2\a >= 0
即 a2\b-a + b2\c-b + c2\a-c >= 0
即 a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c
得证。
楼主说我第一步错了,是变形过程错误还是结果错误,我没看出来
收起
原不等式可化为(a2\b-b)+(b2\c-c)+(c2\a-a)>=0
同分为(a2-b2)\b+(b2-c2)\c+(c2-a2)\a>=0
因为a,b,c为正实数,所以(a2-b2)\b>=(a2-b2)\(a+b+c)
同理(b2-c2)\c>=(b2-c2)\(a+b+c),(c2-a2)\a>=(c2-a2)\(a+b+c)
上面三式相加得(a2-b2)...
全部展开
原不等式可化为(a2\b-b)+(b2\c-c)+(c2\a-a)>=0
同分为(a2-b2)\b+(b2-c2)\c+(c2-a2)\a>=0
因为a,b,c为正实数,所以(a2-b2)\b>=(a2-b2)\(a+b+c)
同理(b2-c2)\c>=(b2-c2)\(a+b+c),(c2-a2)\a>=(c2-a2)\(a+b+c)
上面三式相加得(a2-b2)\b+(b2-c2)\c+(c2-a2)\a>=0\(a+b+c)=0
所以(a2\b-b)+(b2\c-c)+(c2\a-a)>=0成立
即原不等式得证
收起