已知abc属于R,a+b+c=1,求证a分之1加b分之1加c分之1大于等于9

已知abc属于R,a+b+c=1,求证a分之1加b分之1加c分之1大于等于9
已知abc属于R,a+b+c=1,求证a分之1加b分之1加c分之1大于等于9

已知abc属于R,a+b+c=1,求证a分之1加b分之1加c分之1大于等于9
左边=[a＋b＋c]/(a)＋[a＋b＋c]/(b)＋[a＋b＋c]/(c)
=3＋[(a/b)＋(b/a)]＋[(c/a)＋(a/c)]＋[(c/b)＋(b/c)]
每个中括号里都使用基本不等式,得：左边大于等于3＋2＋2＋2=9

1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=a/c+c/a+a/b+b/a+b/c+c/b+3
≥6[6^√(a/c*c/a*a/b*b/a*b/c*c/b)]+3
=6*1+3
=9
其中：[6^√(……)]表示开6次方
有不懂欢迎追问
楼上的方法，好像有问题，因为两两均值时，均值与均值...

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1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=a/c+c/a+a/b+b/a+b/c+c/b+3
≥6[6^√(a/c*c/a*a/b*b/a*b/c*c/b)]+3
=6*1+3
=9
其中：[6^√(……)]表示开6次方
有不懂欢迎追问
楼上的方法，好像有问题，因为两两均值时，均值与均值之间会互相影响，因此应该对6组数作均值

收起

由a+b+c=1得abc<1/9;
a分之1加b分之1加c分之1=(bc+ac+ab)(abc)
<=[(1-c)的平方/2+(1-b)的平方/2+(1-a)的平方/2]/(abc)
<=[3-2(a+b+c)+a的平方...

全部展开

由a+b+c=1得abc<1/9;
a分之1加b分之1加c分之1=(bc+ac+ab)(abc)
<=[(1-c)的平方/2+(1-b)的平方/2+(1-a)的平方/2]/(abc)
<=[3-2(a+b+c)+a的平方+b的平方+c的平方]/(1/9)
又有abc<1/9 原式 >=1/(1/9)
=9

收起

1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=a/c+c/a+a/b+b/a+b/c+c/b+3...........@
由于均值不等式：所以@≥（6*√a/c*c/a*a/b*b/a*b/c*c/b）+3
≥6+3
≥9