证明方程2^x=3有且只有一个实数根必须用反证法

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 08:34:03
证明方程2^x=3有且只有一个实数根必须用反证法
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证明方程2^x=3有且只有一个实数根必须用反证法
证明方程2^x=3有且只有一个实数根
必须用反证法

证明方程2^x=3有且只有一个实数根必须用反证法
证明：令f(x)=2^x-3,可知f(x)在R上是增函数
假设f(x)在R上无零点或至少有两个零点
1）若f(x)在R上无零点,而f(1)f(2)

设函数f(x)=2^x
所以f(x)单调递增，2^x=3最多只有一个实数根
又因为f(1)=2<3,f(2)=4>3，所以2^x=3至少有一个实数根
所以方程2^x=3有且只有一个实数根

方程2^x=3的实数根就是曲线y=2^x（指数函数）与直线y=3的交点的横坐标.
而曲线y=2^x与直线y=3的交点有且只有一个，
则方程2^x=3有且只有一个实数根.

证明：设f(x)=2^x-3 易证明函数f(x)在x属于R上为单调函数 且定义域为(-3,+无穷) 所以函数f(x)与x轴有且只有一个交点 所以方程2^x=3有且只有一个实数根

解法一，x=log 2~3
y=log 2~x在定义域是单调递增函数。
y=3的导数是y`=0
y=2^x的导数是y`=2x,
所以，2^x=3的导数是
y`=2x
所以，方程2^x=3有且只有一个实数根
解法二，
y=2^x是单调递增函数，
y=3时，x=唯一，
所以，方程2^x=3有且只有一个实数根
解法三...

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解法一，x=log 2~3
y=log 2~x在定义域是单调递增函数。
y=3的导数是y`=0
y=2^x的导数是y`=2x,
所以，2^x=3的导数是
y`=2x
所以，方程2^x=3有且只有一个实数根
解法二，
y=2^x是单调递增函数，
y=3时，x=唯一，
所以，方程2^x=3有且只有一个实数根
解法三：反证法；
若方程2^x=3无解，则函数y=2^x-3无零点，但2^x=3有零点，与2^x=3无解矛盾(反证法），
方程y=2^x-3与y=2^x形状相同，y=2^x只有一个零点，所以，方程2^x=3有且只有一个实数根。

收起

化指数函数为对数函数，结合对数函数的图像即可

1.证明函数f(x)=2^x-3在定义域范围内是单调递增的。
设x1 f(x1)-f(x2)=2^x1-2^x2<0
所以f(x)在R内是单调的。
2.因为f(1)*f(2)<0,则函数f(x)=2^x-3在定义域内只有一个零点。
也就是方程2^x=3有且只有一个实根。

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