设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma(a为角标,后同)、mb、mc.求证接上a+b+c
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 18:31:00
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设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma(a为角标,后同)、mb、mc.求证接上a+b+c
设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma(a为角标,后同)、mb、mc.求证
接上
a+b+c<2(ma+mb+mc)
设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma(a为角标,后同)、mb、mc.求证接上a+b+c
首先画图,将a,b,c以及ma,mb,mc(分别对应为a,b,c边上的中线)标出来;并且标注:BC边上的中点为D,AC边上的中点为E,AB边上的中点为F;
在三角形ACD中,AD=ma,CD=(1/2)a,AC=b;由三角形三边关系定理可知:AD+DC>AC,即ma+(1/2)a>b;
同理在三角形ABE和三角形AFC中可得:mb+(1/2)b>c; mc+(1/2)c>a.
将以上三式相加得:ma+(1/2)a+mb+(1/2)b+mc+(1/2)c>a+b+c
移项得:ma+mb+mc>(1/2)(a+b+c)
即:a+b+c