作业帮求证：关于X的方程 ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 a≤0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/03 04:56:04
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求证：关于X的方程 ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 a≤0
求证：关于X的方程 ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 a≤0
求证：关于X的方程 ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 a≤0
是不是弄错了,应该改为 a≤1?
已知a≤1来证：可以用函数的连续性来解决这一问题：令f(x)= ax²+2x+1,显然f(0)=1,f(-1)=a-1≤0,且当a≤1时,函数（一次或二次）都是连续函数,所以函数在[-1,0）上至少存在一个零点,即方程 ax²+2x+1=0至少有一个负根；
再证另一方面：已知X的方程 ax²+2x+1=0至少有一个负根,则a=0时,有负根,满足题意；a不等于0时,△=4-4a≥0,即a≤1,又因为有负根,所以再对a分类：a>0时,由韦达定理,知两根之积为1/a>0,两根之和为-2/a