一道竞赛题已知C：x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a ,则(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?答案是-4a为什么?

一道竞赛题已知C：x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a ,则(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?答案是-4a为什么?
一道竞赛题
已知C：x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a ,则
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?
答案是-4a
为什么?

一道竞赛题已知C：x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a ,则(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?答案是-4a为什么?
两曲线相切于点（a,sina）,故两曲线应当存在过这一点的一条公切线.
根据点在正弦曲线上可得公切线斜率=-cosa,
由于公切线与圆相切,故公切线应当与过切点的半径垂直,
这条半径的斜率为(sina-1/2)/a,
所以-cosa×(sina-1/2)/a=-1,得sina-1/2=-a/cosa①
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa根据三倍角公式展开,化为[4sina-4(sina)^3-2(cosa)^2]/cosa
前两项提取公因式4sina,平方关系代换,经过约分,
最终将待求式化为（4sina-2）cosa.
此时,将①式代入,-4a立刻出现,轻松加愉快.