作业帮若x的平方+y的平方+z的平方-xy-yz-zx=0,求证:x=y=z
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 23:18:30
若x的平方+y的平方+z的平方-xy-yz-zx=0,求证:x=y=z
若x的平方+y的平方+z的平方-xy-yz-zx=0,求证:x=y=z
若x的平方+y的平方+z的平方-xy-yz-zx=0,求证:x=y=z
x²+y²+z²=xy+yz+zx
x²+y²+z²-xy-yz-xz=0
两边乘2
2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2xz=0
(x²-2xy+y²)+(y²-2yz+z²)+(z²-2xz+x²)=0
(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立.所以三个都等于0
所以x-y=0,y-z=0,z-x=0
x=y,y=z,z=x
所以x=y=z
首先以x为主元:
转化为x^2-(y+z)x+y^2+z^2-yz=0;
是一个关于x的二次方程
Δ=(y+z)^2-4y^2-4z^2+4yz应该≥0
整理后,是3z^2+3y^2-6yz=0
即必须有y=z才有可能存在x
将y=z代入第一个方程,消z可解出x=y
于是有x=y=z
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
若x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0，又(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz，
则
(x+y+z)^2=3(x^2+y^2+z^2)
2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0
(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z...
全部展开
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
若x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0，又(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz，
则
(x+y+z)^2=3(x^2+y^2+z^2)
2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0
(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=0
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0
一个数的平方大于等于0,平方相加等于0则都等于0
所以x-y=0,y-0,z-x=0
所以x=y,y=z,z=x
所以x=y=z
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