已知a,b为正实数 （1）求证a²/b+b²/a ≥a+b

已知a,b为正实数 （1）求证a²/b+b²/a ≥a+b
已知a,b为正实数 （1）求证a²/b+b²/a ≥a+b

已知a,b为正实数 （1）求证a²/b+b²/a ≥a+b
证明：
a,b为正实数,根据均值不等式得
a²/b +b≥2√(a²/b xb)=2a
b²/a +a≥2√(b²/a xa)=2b
当且仅当a=b时取等号
相加得
a²/b +b+b²/a +a≥2a+2b
a²/b +b²/a≥2a+2b-a-b=a+b
所以a²/b+b²/a≥a+b

证明：
a^2/b+b^2/a
=(a+b)(a/b+b/a)-(a+b)
=(a+b)(a/b+b/a-1)
>=(a+b)*{2√[(a/b)*(b/a)]-1}
=(a+b)(2-1)
=a+b
所以：a^2/b+b^2/a>=a+b

证明：a^2/b+b^2/a-a-b=(a^3+b^3-a^2b-ab^2)/ab=(a^2(a-b)+b^2(b-a)/ab=(a+b)(a-b)^2/ab
因为a>0,b>0，所以上式>=0 题中命名成立。

证：因为a,b为正实数，不等式左边a^2/b+b^2/a=(a^3+b^3)/ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab,
可以约去不等式右边因子（a+b）…………（a+b>0）
即
(a^2-ab+b^2)/ab≥1，
a^2-ab+b^2≥ab,
a^2+b^2≥2ab,
(a^2+b^2)/2≥ab,……………………(柯西不等式公式),

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证：因为a,b为正实数，不等式左边a^2/b+b^2/a=(a^3+b^3)/ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab,
可以约去不等式右边因子（a+b）…………（a+b>0）
即
(a^2-ab+b^2)/ab≥1，
a^2-ab+b^2≥ab,
a^2+b^2≥2ab,
(a^2+b^2)/2≥ab,……………………(柯西不等式公式),
当且仅当a=b时等号成立。

收起

原式=a²/b+b²/a-a-b≥0
(a^3-b^3-a^2b-ab^2)/ab≥0
[a^2(a-b)+b^2(b-a)]/ab≥0
(a^2-b^2)(a-b)/ab≥0
(a-b)^2(a+b)/ab≥0
∵a,b为正实数
(a-b)^2≥0,a+b>0,ab>0
∴(a-b)^2(a+b)/ab≥0
∴a²/b+b²/a ≥a+b