菱形证明题四边形四边为a、b、c、d 且 a四次方+b四次方+c四次方+d四次方=4abcd,求证这个四边形是菱形

菱形证明题四边形四边为a、b、c、d 且 a四次方+b四次方+c四次方+d四次方=4abcd,求证这个四边形是菱形
菱形证明题
四边形四边为a、b、c、d 且 a四次方+b四次方+c四次方+d四次方=4abcd,求证这个四边形是菱形

菱形证明题四边形四边为a、b、c、d 且 a四次方+b四次方+c四次方+d四次方=4abcd,求证这个四边形是菱形
证明：
∵a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
∴a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
配方得
(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)+(2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2)=0
∴(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)+2(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)=0
即(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
∵三个平方式均>=0
又a、b、c、d为四边形四边,故a、b、c、d>0
∴(a^2-b^2)^2=0,可得：a^2=b^2,即a=b,
(c^2-d^2)^2=0,可得：c^2=d^2,即c=d,
2(ab-cd)^2=0,可得：ab=cd；
由a=b,c=d,ab=cd可得：a=b=c=d,
∴该四边形的四条边都相等,由菱形的性质可判定,以a、b、c、d为边长的四边形是菱形.
证毕
证法二：
由均值不等式
a^4+b^4+c^4+d^4≥4*[(a^4*b^4*c^4*d^4)^(1/4)]=4abcd
在a=b=c=d时取等号
又由已知
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
故a=b=c=d
∴该四边形的四条边都相等,由菱形的性质可判定,以a、b、c、d为边长的四边形是菱形.