于知函数f(X)=sin²ωx+根号3sinωxsin(ωx+π/2(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 14:51:23
于知函数f(X)=sin²ωx+根号3sinωxsin(ωx+π/2(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围
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于知函数f(X)=sin²ωx+根号3sinωxsin(ωx+π/2(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围
于知函数f(X)=sin²ωx+根号3sinωxsin(ωx+π/2(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围

于知函数f(X)=sin²ωx+根号3sinωxsin(ωx+π/2(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围
f(x)=sin²(ωx)+3^½*{sin(ωx)*[-cos(ωx)]}
=[2sin²(ωx)-1]/2+1/2-3^½*[2sin(ωx)*cos(ωx)]/2
=-cos(2ωx)/2-3^½*sin(2ωx)/2+1/2
=-[sin(π/6)cos(2ωx)+cos(π/6)sin(2ωx)]+1/2
=-sin(2ωx+π/6)+1/2
∵T=(2π)/(2ω)=π
∴ω=1
即 f(x)=-sin(2x+π/6)+1/2
∵0≤x≤2π/3
∴0≤2x≤4π/3
π/6≤2x+π/6≤3π/2
∴sin(2x+π/6)∈[-1,1]
当2x+π/6=π/2,即x=π/6时,有最小值:f(x)(min)=-1+1/2= -1/2
当x=2π/3时,有最大值:f(x)(max)=-sin[2(2π/3)+π/6)+1/2=1+1/2=3/2
所以取值范围为:[-1/2,3/2]