已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 20:46:41
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
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已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数

已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
令y=0
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）
=>f(x)+f(x)=2f(x)*f(0)
=>f(0)=1
令x=0
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）
=>f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y)
=>f(-y)=f(y)
=>f(x)是偶函数

令x=y=0
故：f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)
即：2f(0)=2 f(0)f(0)
因为f(0)≠0
故：f(0)=1
令x=0
故：f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
故：f(y)+f(-y)=2f(y)
故：f(-y)=f(y)
因为y任意
故：f(-x)=f(x)
故：f(x)是偶函数（定义域R关于原点对称）

要证明f(x)是偶函数即证明f(x)=f(-x)。注意题中已知条件f(0)不等于0。证明:令x=y=0，代入已知关系式，得2f(0)=2f(0)^2，所以f(0)=1(因为f(0)不等于0)。然后令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)亦即f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数得证。

要证明f(x)为偶函数，只需证明f（x）=f（-x)
此题我们假设x=1，y=0则
f（1）+f（1）=2f（1）* f(0)
所以f(0)=1
再假设x=0则
f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y)
即
f(y)+f(-y)=2f(y)
所以
f(y)=f(-y)
可得
f(y)为偶函数
证明完毕

已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y) 已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数 已知函数y=f(X)满足f(x)=2f(1/x)+x,求f(x)的表达式 已知函数y=f(x)满足3f(x)+f(-x)=5x,则f(x)= 已知二次函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x) 已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2015)= 已知函数f(x)满足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).则f(2010) 已知函数f(x)满足,f(1)=0.25,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 则f（2010）= 已知函数f(x)满足f(2)=1/2,2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2012)=? 已知函数f(x)满足f(1)=1/4,f(x)+f(y)=4f(x+y/2)*f(x-y/2)则f(-2011)=? 已知函数f(x)满足f(3)=1/3,3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求f(1812) 已知函数f(x)满足:f(1)=0,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2014)= 高中数学函数题已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y属于R),则f(2010)=?已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y属于R),则f(2010)=? 已知函数y=f(x)满足f(-2)>f(-1),f(-1) 已知函数f(x)满足f(x)+3f(-x)＝3x,求f(x) 已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),求证：f(x/y)=f(x)-f(y)(y≠0）. 已知函数f(x)满足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).则f(2010)=?(x,y属于R）为什么f(x+3)=-f(x+6) 已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+3,求f(x)