爆难 谁会积分50以上X0=1Xn+1/X(n-1)=2cos133π/355求使得Xn=1的最小正整数n答案是355一定会给积分的……oh my god Xn，加上，X（n-1）的倒数，是右边那个

爆难 谁会积分50以上X0=1Xn+1/X(n-1)=2cos133π/355求使得Xn=1的最小正整数n答案是355一定会给积分的……oh my god Xn，加上，X（n-1）的倒数，是右边那个
爆难 谁会积分50以上
X0=1
Xn+1/X(n-1)=2cos133π/355
求使得Xn=1的最小正整数n
答案是355
一定会给积分的……
oh my god Xn，加上，X（n-1）的倒数，是右边那个

爆难 谁会积分50以上X0=1Xn+1/X(n-1)=2cos133π/355求使得Xn=1的最小正整数n答案是355一定会给积分的……oh my god Xn，加上，X（n-1）的倒数，是右边那个
这个题算了我两个小时,总算算出来了.在给出解答之前,我还是得声明一下,这个题有一点小问题,cos(133π/355)应该改为cos(134π/355),是的,上面分子除去π的必须为偶数,具体是多少对答案没有影响,但必须是偶数,如果是奇数就不存在等于1的项,这个在后面会给出证明.
首先我们设Xn=1 ,那么有1+1/(X(n-1))=2cosθ （1）,这里我先令θ=134π/355,为了简便.
同时又由于X0=1,所以又有1+X1=2cosθ （2）,(1)(2)联立得
X1=1/X(n-1),这时继续算,由X1+1/X2=2cosθ=X(n-2)+1/X(n-1),将刚算的结果带入可得,X2=1/X(n-2),那么以此类推,恒有X(k)=1/X(n-k) (3),
这时我们注意到n必须是奇数,这样算上0一共才有偶数个项,才好折中.
也就是说,根据(3)式我们发现从0到n的各个项是以n/2(这里n/2不是整数,仅仅作为一个分界)为“对称轴”,“对称轴”两边的对称的项刚好互为倒数.那么n是奇数的时候,正中间刚好有相邻两项他们互为倒数.
为了好理解,举个简单的例子,例如n=5,那么就有0,1,2,3,4,5项,其中X0=X5=1,X1=X4,X2=X3.以2.5为“对称轴”.就是这个意思.
回过头来,利用取整函数([3.5]=3),最中间的两项应该为X([n/2])和X([n/2]+1)
这两项是很值得看一看的,因为他们不仅满足
X([n/2]+1)+1/X([n/2])=2cosθ,还满足
X([n/2]+1)=1/X([n/2]),两式联立就解得
X([n/2])=1/cosθ,X([n/2]+1)=cosθ.
我们开始从第[n/2]+1项往后算,由X([n/2]+2)+1/X([n/2]+1)=2cosθ
即X([n/2]+2) + 1/cosθ=2cosθ得 X([n/2]+2)=cos(2θ)/cosθ,
然后继续带入递推公式可以算得X([n/2]+3)=cos(3θ)/cos(2θ),
这个时候我们已经大概有了通项公式的猜想,没错就是
X([n/2]+k)=cos(kθ)/cos((k-1)θ);为了验证这个,不妨用数学归纳法
假设上式成立,那么带入X([n/2]+k+1)+1/X([n/2]+k)=2cosθ得
X([n/2]+k+1)=(2cosθcos(kθ)-cos((k-1)θ))/cos(kθ)=
(2cosθ(cos((k+1)θ)cosθ+sin((k+1)θ)sinθ)
-(cos((k+1)θ)cos2θ+sin((k+1)θ)sin2θ)/cos(kθ)=
cos((k+1)θ)/cos(kθ),证毕.于是得到了通项.现在要找满足Xn=1的最小正整数,也就是要找满足cos((k+1)θ)/cos(kθ)=1的最小的k.这时我们把θ= 134π/355带入观察一下,由cos(134(k+1)π/355)=cos(134kπ/355)
得到134(k+1)π/355 = 2mπ-134kπ/355,整理一下得
134(2k+1)/355=2m,等式右边为偶数,因此左边也要为偶数.
这个时候回到开始说的问题,如果不是134而是133,那么左边分子是奇数分母也是奇数,即使是整数也不可能是偶数,矛盾.因此应该是134.
那么又因为134和355互素,所以要想等式左边为偶数,必须有2k+1=355
而又因为[n/2]+k+1=n,得到n=355.至此求出.确实有点麻烦.
呃,最后,虽然我不是冲着50分来的,这个题确实很值得做一做.不过...你懂的,如果能给我我会很高兴.