（1）是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?(2)设k（k≥3）是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得m(m+k)=n(n+1)?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/28 00:09:53

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（1）是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?(2)设k（k≥3）是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得m(m+k)=n(n+1)?
（1）是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?
(2)设k（k≥3）是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得m(m+k)=n(n+1)?

（1）是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?(2)设k（k≥3）是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得m(m+k)=n(n+1)?
(1)由已知等式得：
(m²-n²)+(m-n)=-m
(m+n)(m-n)+(m-n)=-m
(m+n+1)(m-n)=-m
(m+n+1)(n-m)=m
由于m、n都是正整数,所以由上式知：(n-m)≥1,即：n≥m+1,
所以：m=(m+n+1)(n-m)≥m+n+1,
可得：n+1≤0,显然不成立；
所以满足m(m+2)=n(n+1)的正整数解不存在；
(2)由已知等式得：
(m²-n²)+(m-n)=(1-k)m
(m+n)(m-n)+(m-n)=(1-k)m
(m+n+1)(m-n)=(1-k)m
(m+n+1)(n-m)=(k-1)m
由于k≥3,所以可得：n-m>0,即：n>m,n/m>1,
则有：n/m=(m+k)/(n+1)>1,
所以：m+k>n+1,
因此：m

不存在