作业帮已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/05 05:32:53
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已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.
已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心
在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.
已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.
答：
设内心点D为（d,0）,点P为（p,p^2-3p)
直线OP为：y=(p-3)x即(p-3)x-y=0
直线OB为：y=x即x-y=0
点D到直线OP和OB的距离相等：
L=|(p-3)d-0|/√[(p-3)^2+1]=|d-0|/√2
|(p-3)d|/√[(p-3)^2+1]=|d|/√2
因为：点D不能与点O重合
所以：d≠0
所以：|p-3|/√[(p-3)^2+1]=1/√2
平方得：
(p^2-6p+9)/(p^2-6p+10)=1/2
解得：p=2或者p=4
p=4时,点P与点B重合,舍去
所以：p=2
所以：点P为（2,-2）
BP直线为：y-4=3(x-4)即3x-y-8=0
L=|3d-0-8|/√(3^2+1)=|d|/√2
整理得：
|3d-8|=√5|d|
平方得：9d^2-48d+64=5d^2
d^2-12d+16=0
解得d=6±2√5
因为点D在三角形OPB内部
所以：d=6-2√5
所以：点P为（2,-2）,内心点D为（6-2√5,0）
当点D在y轴上时,设为（0,d）,d>0；点P为（p,p^2-3p)
直线OP为：y=(p-3)x即(p-3)x-y=0
直线OB为：y=x即x-y=0
点D到直线OP和OB的距离相等：
L=|0-d|/√[(p-3)^2+1]=|0-d|/√2
(p-3)^2=1
解得：p=2或者p=4
显然,点D应该在x轴上