作业帮证明2的n次方-1不能被n整除费马小定理的要求是n必须是个素数而不仅仅是互素就可以......求给力答案......
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 12:19:10
证明2的n次方-1不能被n整除费马小定理的要求是n必须是个素数而不仅仅是互素就可以......求给力答案......
证明2的n次方-1不能被n整除
费马小定理的要求是n必须是个素数而不仅仅是互素就可以......求给力答案......
证明2的n次方-1不能被n整除费马小定理的要求是n必须是个素数而不仅仅是互素就可以......求给力答案......
费马小定理,若p是素数且a是整数则a^p≡a(mod p),特别的若a不能被p整除,则a^(p-1)≡1(mod p).
这可以用数学归纳法证明.
a=1显然成立.
假设对a成立,就是a^p≡a(mod p),则对a+1,(a+1)^p,由二项式定理,除了第一项a^p和1以外,其他各项系数都能被p整除,所以(a+1)^p≡a^p+1(mod p),而a^p≡a(mod p),所以(a+1)^p≡a+1(mod p).所以费马小定理得证.
假如n与2互质，即n是奇数，那么由小费马定理，2^n除以n余2（因为2^(n-1)除以n余1），因此2^n-1除以n余1，即不能被n整除。
假如n是偶数，2^n-1是奇数，奇数不能被偶数整除。
因此2的n次方-1不能被n整除。
关于费马小定理，你可以查查。
只考虑n是奇数即可。
设p是n的最小素数因子。
若n|(2^n -1)，则p|(2^n -1)，
又根据费马小定理，p|(2^(p-1) -1)，
设h是满足p|(2^h -1)的最小正整数，即阶数，
则根据以上两个整除结论，由初等数论定理：h|n且h|(p-1)，
于是h|(n, p-1)，（即最大公约数）
但p是n的最小素因子，所以(n,...
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只考虑n是奇数即可。
设p是n的最小素数因子。
若n|(2^n -1)，则p|(2^n -1)，
又根据费马小定理，p|(2^(p-1) -1)，
设h是满足p|(2^h -1)的最小正整数，即阶数，
则根据以上两个整除结论，由初等数论定理：h|n且h|(p-1)，
于是h|(n, p-1)，（即最大公约数）
但p是n的最小素因子，所以(n, p-1)=1，
于是只能h=1，从而p=1，矛盾！证毕！
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