作业帮n的三次幂加五n能被六整除不要复制粘贴,复制粘贴的我看过了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 15:11:10
n的三次幂加五n能被六整除不要复制粘贴,复制粘贴的我看过了
n的三次幂加五n能被六整除
不要复制粘贴,复制粘贴的我看过了
n的三次幂加五n能被六整除不要复制粘贴,复制粘贴的我看过了
n^3+5n
=n(n^2+5)
=n(n^2+6n+5-6n)
=n(n+1)(n+5)-6n^2
=n(n+1)(n+5-6+6)-6n^2
=(n-1)n(n+1)+6n(n+1)-6n^2
你说它是6的倍数吗?
数学归纳法
1.当n=1时
1+5*1=6 6/6=1成立
2.假设n=k时成立
即(k^3+5k)/6=a a为整数
当n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5=k^3+5k+3k^2+3k+6=6a+3k^2+3k+6
=6a+6+3k(k+1)
不管k为奇数或者偶数...
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数学归纳法
1.当n=1时
1+5*1=6 6/6=1成立
2.假设n=k时成立
即(k^3+5k)/6=a a为整数
当n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5=k^3+5k+3k^2+3k+6=6a+3k^2+3k+6
=6a+6+3k(k+1)
不管k为奇数或者偶数 3k(k+1)都可以被6整除
所以n=k+1成立
所以命题成立
收起
用数学归纳法，很简单的
很显然，当n=1时，nnn+5n=6，能被6整除
设k>=1，假如n=k时，结论成立，也就是kkk+5k能被6整除
那么当n=k+1时
(k+1)(k+1)(k+1)+5(k+1)=kkk+5k+6+3k(k+1)
我们已经知道kkk+5k能被6整除，6当然也能被6整除
下面我们只需要证明3k(k+1)也能6整除即可
...
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用数学归纳法，很简单的
很显然，当n=1时，nnn+5n=6，能被6整除
设k>=1，假如n=k时，结论成立，也就是kkk+5k能被6整除
那么当n=k+1时
(k+1)(k+1)(k+1)+5(k+1)=kkk+5k+6+3k(k+1)
我们已经知道kkk+5k能被6整除，6当然也能被6整除
下面我们只需要证明3k(k+1)也能6整除即可
很显然3k(k+1)能被3整除，
那么只需要证明k(k+1)能被2整除即可
我们知道k是任意指定的，所以k与k+1必然为一个偶数与一个奇数
所以它们的乘积是偶数，所以它们能被2整除
所以3k(k+1)一定能被6整除
所以(k+1)(k+1)(k+1)+5(k+1)=kkk+5k+6+3k(k+1)能被6整除
所以当n=k+1时结论也成立
综上：nnn+5n对于任意的自然数，都能被6整除
收起
n^3+5n≡n^3+6n^2+5n≡n(n+1)(n+5) (mod 6)
n和n+1中必有一个为偶数
如果n被3整除，那么原数被6整除，
如果n被3整除余1，那么n+5能被3整除，原数能被6整除
如果n被3整除余2，那么n+1能被3整除，原数能被6整除