空间简单几何题直角三角形ABC所在的平面α外的一点P到直角顶点的距离为24,到两直角边的距离都是6√10,那么点P到平面α的距离为________
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/03 05:32:48
juj0ẙMeJ&CAQ<%D=c'mӯN"=>첓ۂ,m ܸv[e!s?7E-"FQ0GI䳻V7U?r w9hy=WR^w[_'*exW6J4/Љ"bd Zł-Kف Za1jY6䊒0IGBX$e{x/2D$h"LN###^כ9Uq\W5+H'Veg{M]5dzRjԏ1ӕwy 0
空间简单几何题直角三角形ABC所在的平面α外的一点P到直角顶点的距离为24,到两直角边的距离都是6√10,那么点P到平面α的距离为________
空间简单几何题
直角三角形ABC所在的平面α外的一点P到直角顶点的距离为24,到两直角边的距离都是6√10,那么点P到平面α的距离为________
空间简单几何题直角三角形ABC所在的平面α外的一点P到直角顶点的距离为24,到两直角边的距离都是6√10,那么点P到平面α的距离为________
设直角三角形ABC的顶点是点A,点P到AB,AC的距离都是6√10
过P作PO垂直平面α于O,PD垂直AB于D,PE垂直AC于E
则PD,PE即点P到AB,AC的距离,即PD=PE=6√10
连接OD,OE
因为 PO垂直平面α,AB在平面α内
所以 PO垂直AB
因为 PD垂直AB
所以 AB垂直平面PDO
因为 OD在平面PDO内
所以 OD垂直AB
同理 OE垂直AC
因为 PO垂直平面α
所以 角POD=角POE=90度
因为 PD=PE,PO=PO
所以 三角形PDO全等于三角形PEO
所以 OD=OE
因为 OD垂直AB,OE垂直AC,角BAC=90度
所以 ADOE是矩形
因为 OD=OE
所以 ADOE是正方形
所以 AO=√2OD
因为 PO垂直平面α
所以 角POA=角POD=90度
所以 AP^2=PO^2+AO^2,PD^2=PO^2+OD^2
因为 AP=24,PD=6√10,AO=√2OD
所以 PO=12
所以 点P到平面α的距离为 12
点到直角边的距离意思是:直角边所在的直线与该点所确定的平面内,过该点作该直线的垂线,该点与垂足之间的距离,也就是垂线段。
理解这个之后,因为P到两直角边的距离都是6√10,所以,P位于该直角的角平分线所在的垂直于平面α的平面上。
设P点在平面α上的投影为O,过P点垂直于AB的垂线垂足为Q。则P到平面α的距离为OP,则
PA^2=OP^2+OA^2
OA^=2AQ^2...
全部展开
点到直角边的距离意思是:直角边所在的直线与该点所确定的平面内,过该点作该直线的垂线,该点与垂足之间的距离,也就是垂线段。
理解这个之后,因为P到两直角边的距离都是6√10,所以,P位于该直角的角平分线所在的垂直于平面α的平面上。
设P点在平面α上的投影为O,过P点垂直于AB的垂线垂足为Q。则P到平面α的距离为OP,则
PA^2=OP^2+OA^2
OA^=2AQ^2
AP^2=AQ^2+PQ^2
解得OP^2=2PQ^2-AP^2
代入PQ=6√10,AP=24
可得OP=12
收起