已知,AB,CD是互相垂直的两条弦,OE垂直AD,求证OE=二分之一BC.

已知,AB,CD是互相垂直的两条弦,OE垂直AD,求证OE=二分之一BC.
已知,AB,CD是互相垂直的两条弦,OE垂直AD,求证OE=二分之一BC.

已知,AB,CD是互相垂直的两条弦,OE垂直AD,求证OE=二分之一BC.
过B,O作直径BG交圆于点G,交CD于点P；过C作CH垂直BG交圆于点H；
过O作OF垂直BC交BC于F,连接OA,OD
因为 AB垂直CD,CH垂直BG
所以 角HCD+角CPG=角GBA+角BPD
因为 角CPG=角BPD
所以 角HCD=角GBA
所以 角HCD,角GBA对应的弧GA,弧HD相等
所以 弧GH=弧AD
因为 BG是直径,CH垂直BG
所以 弧CG=弧GH
因为 弧GH=弧AD
所以 弧CG=弧AD
所以 角AOD=2角CBG
因为 OE垂直AD
所以 角AOE=角EOD=1/2角AOD
所以 角AOE=角CBG
因为 OE垂直AD,OF垂直BC
所以 角BFO=角OEA=90度
因为 OA,OB是圆的半径
所以 OA=OB
因为 角AOE=角CBG,角BFO=角OEA
所以 三角形AOE全等于三角形OBF
所以 OE=BF
因为 OF垂直BC
所以 BF=CF=1/2BC
所以 OE=1/2BC