如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 00:09:20
如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC
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如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC
如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC

如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC
过P点作AB、AC、BC的垂足于E、F、G点,
则PE⊥AE,PF⊥AF,PG⊥BC,
∴∠PEA=∠PGB=∠PGC=∠PFA=90°
∵BP、CP分别为∠CBE和∠BCF的角平分线,
∴PE=PG=PF
∵AP为公共边,
∴△APE≌△APF
∴∠EAP=∠FAP
∴AP为∠BAC的角平分线

这个问题中P就是三角形ABC的内心。
过P作三边的垂线,运用角平分线的性质(角平分线上任意一点到角两边距离相等),你会发现点P到AB,AC的距离相等(中间用P到BC边的距离过渡一下)这样P就在角A的角平分线上,这样这个题目就证完了。LZ只要知道三角形全等肯定没问题。
另外比如用Ceva定理也是可以的,不知LZ是否听说过。
三角形的五心已经淡出数学的初等教育体系了,我们几何圈...

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这个问题中P就是三角形ABC的内心。
过P作三边的垂线,运用角平分线的性质(角平分线上任意一点到角两边距离相等),你会发现点P到AB,AC的距离相等(中间用P到BC边的距离过渡一下)这样P就在角A的角平分线上,这样这个题目就证完了。LZ只要知道三角形全等肯定没问题。
另外比如用Ceva定理也是可以的,不知LZ是否听说过。
三角形的五心已经淡出数学的初等教育体系了,我们几何圈里的人也很无奈的。
LZ对几何感兴趣的话,可以去看一下刘培杰数学工作室出版的【三角形的五心】还有【初等数学复习与研究(平面几何)】里面内容很全的,另外刚刚说的Ceva定理也可以再任何一本几何著作及数学竞赛书上找到。

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(1)证明:∵在Rt△ACP中
PC2=AC2-AP2
在Rt△BCP中,PC2=BC2-BP2
∴AC2-BC2=AP2-BP2
(2)∵AB2=AP2+PB2,BC2=BP2+CP2,CD2=CP2+DP2,AD2=DP2+AP2
∴AB2+CD2=AD2+BC2
(3)PA2+PC2=PB2+PD2
证明:过P作EF∥AD交AB,CD于...

全部展开

(1)证明:∵在Rt△ACP中
PC2=AC2-AP2
在Rt△BCP中,PC2=BC2-BP2
∴AC2-BC2=AP2-BP2
(2)∵AB2=AP2+PB2,BC2=BP2+CP2,CD2=CP2+DP2,AD2=DP2+AP2
∴AB2+CD2=AD2+BC2
(3)PA2+PC2=PB2+PD2
证明:过P作EF∥AD交AB,CD于E,F,过P作MN∥AB交AD,BC于M,N
则PA2=AM2+PM2,PB2=BN2+PN2,PC2=PN2+NC2,PD2=MD2+PM2
∵AM=BN,MD=NC,
∴PA2+PC2=PB2+PD2.

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连接ap
过p点作pB、pC、pA分别垂直于pb、pc、pa,B、C、A为垂足
因为bp、cp为外角平分线
则pB=pA,pC=pA
所以pB=pC
则ap为∠a平分线
即点p必在∠bac的角平分线上

证明:  过P点做PM⊥AD,PN⊥AE,PQ⊥BC.

∵BP是∠DBC的角平分线

∴PM=PQ (角平分线上的点到两边之间的距离相等)

同理: ∵CP是∠DBC的角平分线

∴PN=PQ

∴PM=PN

又 ∵PM⊥AD,PN⊥AE

∴∠1=∠2=90°

在Rt△APM 和Rt△APN中:

PM=PN(以证)

AP=AP (公共边)

∴Rt△APM  ≌ Rt△APN

∴∠BAP=∠PAE

∴AP平分∠BAC 

乎~打完了~

如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC 如图,D是△ABC的一个外角平分线上的一点,求证:AB+AC 如图,BP是△ABC的外角平分线,点P在∠BAC的角平分线上.求证:CP是△ABC的外角平分线 如图、bp是△abc的外角平分线、点p在∠bac的角平分线上,求证:cp是△abc的外角平分线. 已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,AD平分外角∠EAC,AD平行BC,求证:△ABC等腰三角形 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB的外角.求证:(1)AE是∠BAC外角的平分线.(2).AE⊥AD 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB的外角.求证:(1)AE是∠BAC外角的平分线.(2)AE垂直AD 已知:如图,在△ABC中,E是∠BAC,外角CBD的平分线的交点.求证:点E在外角BCF的平分求证:点E在外角BCF的平分线上. 已知:如图,在△ABC中,E是∠BAC,外角CBD的平分线的交点.求证:点E在外角BCF的平分求证:点E在外角BCF的平分线上. 如图.在△ABC中.BD平分∠ABC.如图.在△ABC中.BD平分∠ABC.DC平分∠ACB的外角.求证:∠D=1/2∠A 如图,已知BD平分∠ABC,CD平分△ABC的一个外角,DE‖BC,说明EF=BE-CF今天就要 回答 已知:如图,在△abc中,e是∩bac,外角cbd的平分线的交点.求证:点e在外角bcf的平分线上. 如图,△ABC的外角MBC与外角NCB的平分线相交于点D,求证点D在∠BAC的平分线上逆命题与逆定理。 如图,△ABC,BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACD,∠A=70.求∠E 如图,已知BP、CP是△ABC的外角平分线,证明点P在∠BAC的平分线上. 如图,BF、CF是△ABC的外角平分线.求证:点F也在∠BAC的平分线上 如图,△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P,求证AP平分∠BAC 如图,△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P,求证:AP平分∠BAC