1+1=?我要证明过程

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 20:39:51
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用皮亚诺公理推导1+1=2编辑
皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统.根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统.
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
①1是自然数；
②每一个确定的自然数 a,都有一个确定的后继数x' ,x' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等）；
③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b = c；
④1不是任何自然数的后继数；
⑤设S是自然数集的一个子集,且（i）1属于S；（2）如果n属于S,那么n'也属于S.
(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
若将0也视作自然数,则各公理中的1要换成0.
更正式的定义如下：　一个戴德金-皮亚诺结构是这样的一个三元组(X,x,f),其中X是一个集合,x为X中一个元素,f是X到自身的映射,且符合以下条件：
x不在f的值域内；
f为一个单射；
若x∈A 且 " a∈A 蕴涵 f(a)∈A",则A=X.
该结构所引出的关于自然数集合的基本假设:
1.N(自然数集)不是空集；
2.N到N内存在a→a'的一一映射；
3.后继元素映射的像的集合是N的真子集,事实上即N\{1}（或N\{0})；
4.若N的子集P既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与N相等.
1+1的证明：
∵1+1的后继数是1的后继数的后继数,即3,
∴2的后继数是3.
根据皮亚诺公理④,可得：1+1=2.

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