作业帮一道关于线性代数 特征值,题目是这样的：设A为n阶实对称矩阵,且A³-A²+A-E=01.证明A是正定矩阵2.能否由以上条件确定A具体是哪个矩阵?说明理由我的困惑在于,我是想直接把A替换成λ,然
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 21:55:20
一道关于线性代数 特征值,题目是这样的：设A为n阶实对称矩阵,且A³-A²+A-E=01.证明A是正定矩阵2.能否由以上条件确定A具体是哪个矩阵?说明理由我的困惑在于,我是想直接把A替换成λ,然
一道关于线性代数 特征值,
题目是这样的：
设A为n阶实对称矩阵,且A³-A²+A-E=0
1.证明A是正定矩阵
2.能否由以上条件确定A具体是哪个矩阵?说明理由
我的困惑在于,我是想直接把A替换成λ,然后求的λ为正,所以是正定的.但是这样不能保证它所有特征值都为正呀?那正解应该如何呢?
一道关于线性代数 特征值,题目是这样的：设A为n阶实对称矩阵,且A³-A²+A-E=01.证明A是正定矩阵2.能否由以上条件确定A具体是哪个矩阵?说明理由我的困惑在于,我是想直接把A替换成λ,然
首先：实对称矩阵的特征值都是实数(这是教材中的定理)
其次：实对称矩阵可以正交对角化,即存在正交矩阵U,使得U^TAU=E（单位矩阵)(这也是教材中的定理)
下面说明你所说的矩阵A实际上就是一个单位矩阵E.
设λ是矩阵A的任意一个特征值,对应的特征向量为α,于是
(A³-A²+A-E)α=(λ³-λ²+λ-1)α,
又(A³-A²+A-E)α＝0,所以(λ³-λ²+λ-1)α＝0,因为α是非零向量,所以必有
λ³-λ²+λ-1＝0,即(λ³+1)(λ-1)=0,由于特征值都是实数,所以必有λ＝1>0
根据上面的定理,矩阵A的所有特征值都是1,
当然是正定矩阵了.
再根据上面的定理一定存在正交矩阵U,使得
U^TAU=E(E的主对角元都是特征值),即有A=UEU^T=E.
之所以A的特征值全都是1，是因为一元三次方程x³-x²+x-1=0的实根只有1。而矩阵A的任意特征值λ都满足方程x³-x²+x-1=0，所以λ只能是1。
如果把A³-A²+A-E=0换成(A-E)(A-2E)(A-3E)=0这种情形，即一元方程的实根有多个，那么得到的就是A的特征值有很多种情形，可能全都是1，或全都是2，或全都是3...
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之所以A的特征值全都是1，是因为一元三次方程x³-x²+x-1=0的实根只有1。而矩阵A的任意特征值λ都满足方程x³-x²+x-1=0，所以λ只能是1。
如果把A³-A²+A-E=0换成(A-E)(A-2E)(A-3E)=0这种情形，即一元方程的实根有多个，那么得到的就是A的特征值有很多种情形，可能全都是1，或全都是2，或全都是3，也可能是即有1也有2也有3等等，不管如何，特征值都是正的
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