已知f(x)=ae^x-x^2 (x∈R)(e为自然对数的底数)(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值(2)若函数f(x)的图像在x∈[a,2](a<2)上的任意一点的切线的倾斜角均为锐角,求a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/06 19:18:13
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已知f(x)=ae^x-x^2 (x∈R)(e为自然对数的底数)(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值(2)若函数f(x)的图像在x∈[a,2](a<2)上的任意一点的切线的倾斜角均为锐角,求a的取值范围
已知f(x)=ae^x-x^2 (x∈R)(e为自然对数的底数)
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值
(2)若函数f(x)的图像在x∈[a,2](a<2)上的任意一点的切线的倾斜角均为锐角,求a的取值范围
已知f(x)=ae^x-x^2 (x∈R)(e为自然对数的底数)(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值(2)若函数f(x)的图像在x∈[a,2](a<2)上的任意一点的切线的倾斜角均为锐角,求a的取值范围
1) f`(x)=ax e^(x-1)-2x f`(1)=a-2=0 a=2
2)若函数f(x)的图像在x∈[a,2](a<2)上的任意一点的切线的倾斜角均为锐角
则可转化为x∈[a,2](a<2)f'(x)=ax e^(x-1)-2x >0恒成立,即a>2/e^(x-1)=2e/e^x 恒成立
设g(x)=2e/e^x 则g'(x)=-2x /e^x
则当x>1时,g'(x)1时,g(x)在x∈[a,2](a<2)的最大值为-2/e
故此时需满足a>-2/e
当a
(1)f'(x)=ae^x-2x 则f'(1)=0 得ae-2=0 则a=2/e
(2)若函数f(x)的图像在x∈[a,2](a<2)上的任意一点的切线的倾斜角均为锐角
则可转化为x∈[a,2](a<2)f'(x)=ae^x-2x >0恒成立,即a>2x/e^x 恒成立
设g(x)=2x/e^x 则g'(x)=2(1-x)/e^x
则当x>1时,g'(x)<0 减...
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(1)f'(x)=ae^x-2x 则f'(1)=0 得ae-2=0 则a=2/e
(2)若函数f(x)的图像在x∈[a,2](a<2)上的任意一点的切线的倾斜角均为锐角
则可转化为x∈[a,2](a<2)f'(x)=ae^x-2x >0恒成立,即a>2x/e^x 恒成立
设g(x)=2x/e^x 则g'(x)=2(1-x)/e^x
则当x>1时,g'(x)<0 减
当x<1时,g'(x)>0增
x=1,g'(x)=0
故x=1为极大值点也是取得最大值的点。
则当a>1时,g(x)在x∈[a,2](a<2)的最大值为g(a)=2a/e^a
故此时需满足a>2a/e^a 解得a>ln2
当a<=1时,g(x)在x∈[a,2](a<2)的最大值为g(1)=2/e
故此时需满足a>2/e
综上所述,得2/e
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