作业帮如图,在平面直角坐标系中,已知点A（0,2）,点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 17:06:31
如图,在平面直角坐标系中,已知点A（0,2）,点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运
如图,在平面直角坐标系中,已知点A（0,2）,点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时,∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．
如图,在平面直角坐标系中,已知点A（0,2）,点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运
1、
B点位置可以直接给出
B=（√3,1）
2、
可以确定Q点位于AP中垂线上,且距离AP中点D√3/2倍AP长度
设P点坐标为（-2m,0）
则AP斜率=1/m
所以QD直线的斜率为-m
而D点坐标为D（-m,1）
所以QD直线方程为
y-1=-m(x+m)
y=-mx-m^2+1
|AP|^2=4(1+m^2)
|QD|^2=(x+m)^2+(mx+m^2)^2
又3/4|AP|^2=|QD|^2
所以
3(1+m^2)=x^2+m^2+2mx+m^2x^2+m^4+2m^3x
3(1+m^2)=x^2(1+m^2)+2mx(1+m^2)+m^2(1+m^2)
1+m^2!=0
所以
3=x^2+2mx+m^2
即
(x+m)=√3
x=√3-m (易判断出Q的横坐标x随着m的增大而减小到负值)
所以Q（√3-m,1-2√3m）
所以QB斜率为
（2√3m）/（m）=2√3
所以QB斜率为定值,所以QB为直线,所以