作业帮数列 (13 10:2:46)已知数列｛an｝满足：a1=1,a2=1/2,且a（n+2)=（a(n+1)）^2/an+a（n+1）（n属于自然数）求数列｛an｝的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/12 20:50:10
数列 (13 10:2:46)已知数列｛an｝满足：a1=1,a2=1/2,且a（n+2)=（a(n+1)）^2/an+a（n+1）（n属于自然数）求数列｛an｝的通项公式
数列 (13 10:2:46)
已知数列｛an｝满足：a1=1,a2=1/2,且a（n+2)=（a(n+1)）^2/an+a（n+1）（n属于自然数）
求数列｛an｝的通项公式
数列 (13 10:2:46)已知数列｛an｝满足：a1=1,a2=1/2,且a（n+2)=（a(n+1)）^2/an+a（n+1）（n属于自然数）求数列｛an｝的通项公式
a（n+2)=（a(n+1)）^2/an+a（n+1）
即：ana（n+2）+a（n+1）a（n+2）
=（a（n+1））²
在两边同时除以a（n+1）a（n+2）即有：
an/a（n+1） + 1 = a（n+1）/a（n+2）
所以构造一新数列Cn=an/a（n+1）
所以有：Cn+1=C（n+1）
且C1=a1/a2=2
即数列Cn为一以2为首项,1为公差的等差数列.
所以易得Cn=n+1 （n∈N*)
即an/a（n+1）=n+1 （n∈N*)
所以an-1/an * an-2/an-1 * ……* a1/a2
=n*（n-1）*……2
即：a1/an=n*（n-1）*……2
所以：an=1/（1*2*……*n）
其中（n∈N*)
把a（n+2)=（a(n+1)）^2/an+a（n+1）两边同时除以a（n+1）得到a（n+2)/a（n+1）=a(n+1)/an+1，令bn=a(n+1)/an，得到b(n+1)-bn=1,b1=1/2,bn=n-1/2.
b(n-1)*b(n-2)* ……*b(1)=(n-3/2)*(n-5/2)*……*1/2=an*a1，所以an=)=(n-3/2)*(n-5/2)*……*1/2
大体的思路就是这样的，可能计算结果有误
求出a3 a4 a5 a6
可得 a(n+1)=（2n-1)(2n-3).....1除以2的n次方
带入验证
通过求前几项 来猜测an的通项
a（n+2)=（a(n+1)）^2/an+a（n+1）推导相对简单些吧
方法不同 看你哪样用的熟
原式两边同除以a(n+1)得：
a(n+2)/a(n+1)=1+ a(n+1)/ an
即a(n+2)/a(n+1)–a(n+1)/ an=1
令bn= a(n+1)/ an
则上式可变为b(n+1)-bn=1
很明显，{bn}为等差数列，且知公差d=1，b1=a2/a1=1/2
由等差数列的通项公式可写出bn=b1+(n-1)d=1/2+(n-1)...
全部展开
原式两边同除以a(n+1)得：
a(n+2)/a(n+1)=1+ a(n+1)/ an
即a(n+2)/a(n+1)–a(n+1)/ an=1
令bn= a(n+1)/ an
则上式可变为b(n+1)-bn=1
很明显，{bn}为等差数列，且知公差d=1，b1=a2/a1=1/2
由等差数列的通项公式可写出bn=b1+(n-1)d=1/2+(n-1)*1=n-1/2
代回，a(n+1)/ an= n-1/2
为了方便后面的计算，上式可进一步变形为
an/a(n+1) = 2/（2n-1）对此式分别令n=1、2、3、…… n-1，得
a1/a2=2/1
a2/a3=2/3
a3/a4=2/5
a4/a5=2/7
……
a(n-1)/an=2/(2n-3)
上面的（n-1）个式子相乘消元得，
1/an=2^(n-1)/[1*3*5*7*9*……*(2n-3)]
所以an=[1*3*5*7*9*……*(2n-3)]/ 2^(n-1)
收起