求矩阵A=【1 1 1,1 1 1,1 1 1】 的特征值与特征向量.（请列出过程）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 20:36:56
求矩阵A=【1 1 1,1 1 1,1 1 1】 的特征值与特征向量.（请列出过程）
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求矩阵A=【1 1 1,1 1 1,1 1 1】 的特征值与特征向量.（请列出过程）
求矩阵A=【1 1 1,1 1 1,1 1 1】 的特征值与特征向量.（请列出过程）

求矩阵A=【1 1 1,1 1 1,1 1 1】 的特征值与特征向量.（请列出过程）
由于A为对称矩阵,故存在正交矩阵U使得U^TAU=diag{a1,a2,a3}.其中a1,a2,a3为A的特征值.
又因为A的秩为1,故a1,a2,a3中只有一个不为0,另外两个都为0,不妨设a2=a3=0.
再根据在相似变换下,矩阵的迹不变可得tr(A)=1+1+1=a1+0+0.由此可得a1=3.
显然(1,1,1)为特征值a1=3对应的特征向量.
再根据x1+x2+x3=0可解得两个线性无关的解(1,-1,0)和(1,0,-1).此即为特征值a2=a3=0对应的特征向量.

设特征值为x,则当|xI-A|=0时|x-1 -1 -1, -1 x-1 -1, -1 -1 x-1|=x^2*(x-2)=0.所以特征值为x1=0,x2=0,x3=3,
当x1=3时，基础解系为(1,1,1)^T，所以k(1,1,1)^T为A属于x1=3的全部特征向量。(求特征向量可以把特征值代进去，即求（xI-A）乘以特征向量=0的特征向量。)
同理可以求x2,x3的特征...

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设特征值为x,则当|xI-A|=0时|x-1 -1 -1, -1 x-1 -1, -1 -1 x-1|=x^2*(x-2)=0.所以特征值为x1=0,x2=0,x3=3,
当x1=3时，基础解系为(1,1,1)^T，所以k(1,1,1)^T为A属于x1=3的全部特征向量。(求特征向量可以把特征值代进去，即求（xI-A）乘以特征向量=0的特征向量。)
同理可以求x2,x3的特征向量。。。

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