已知a,b,c属于r+,证明a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2≥6倍根号3,并确定a,b,c

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/23 21:04:43
已知a,b,c属于r+,证明a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2≥6倍根号3,并确定a,b,c
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已知a,b,c属于r+,证明a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2≥6倍根号3,并确定a,b,c
已知a,b,c属于r+,证明a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2≥6倍根号3,并确定a,b,c

已知a,b,c属于r+,证明a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2≥6倍根号3,并确定a,b,c
a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2
=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca
>=a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)
>=2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)
>=6√3
a=b=c=四次根号3取等

a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2
≥3*(三次根号(abc)^2)+(3*(三次根号(1/abc))^2
=3*(三次根号(abc)^2)+9*1/(三次根号(abc)^2)
≥2√[3*(三次根号(abc)^2)*9*1/(三次根号(abc)^2)]
=2√[3*9]=6√3
第一次用不等式,等号成立时,a=b=c
第二次用不...

全部展开

a^2+b^2+c^2+(1÷a+1÷b+1÷c)^2
≥3*(三次根号(abc)^2)+(3*(三次根号(1/abc))^2
=3*(三次根号(abc)^2)+9*1/(三次根号(abc)^2)
≥2√[3*(三次根号(abc)^2)*9*1/(三次根号(abc)^2)]
=2√[3*9]=6√3
第一次用不等式,等号成立时,a=b=c
第二次用不等式,等号成立时,[3*(三次根号(abc)^2)=9*1/(三次根号(abc)^2)]
三次根号(abc)^4=3
(abc)^4=27
a^12=27
所以,a=b=c=四次根号3

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